Процентная ставка в оценке стоимости

примера анализ основывается							на первых трех			строчках этой
вспомогательной таблицы )
i				2 %		i		2,25 %
j12				0,0795		j12		0,0893
а			i	21,2813	21,0000			20,6078
	2 8
j2				0,0808		j2		0,0910
Пропорция линейной интерполяции для i								имеет вид
				i 0,02		21,0000 21,2813 0,2813				,
				0,0225 0,02		20,6078 21,2813			0,6735

что дает i = 0,02104 илиi = 2,1 % . Однако нам нужно определить неi , аj12 , которая должна быть связана сi соотношением эквивалентности

( 1 + j12 / 12 )12 = ( 1 +i )4 .

Разрешая его относительно j12 получим

j12 = 12 ((1 +i )1/3 - 1) .

Вычисление по этой формуле дает j12 =	0,0835764 . Если возведение в
дробную степень вызывает затруднение,	можно далее воспользоваться

приведенной выше вспомогательной табличкой, составляя новую пропорцию линейной интерполяции

	j12	0,0795		21,0000 21,2813		0,2813	,
	0,0893 0,0795			20,6078 21,2813		0,6735
что дает j12 =		0,0835932		или 8,36 % .		Как видим, точность
интерполяции в этом примере равна 0,0000168 .

ПРИМЕР 2 Решить предыдущий пример, если норма процента конвертируется по полугодиям.

РЕШЕНИЕ Процесс решения точно такой же, как и в предыдущем случае, только вместоj12 необходимо использоватьj2 , так что соотношение эквивалентности принимает вид

73

Определение реальной процентной ставки с учетом инфляции в финансовой математике

Введем показатели, характеризующие реальную доходность кредитных операций в условиях инфляции. Пусть срок действия ссуды равен T; S₀- начальная сумма; S_T – наращенная сумма денег, измеренная по номиналу. Для операции наращения суммы по простой процентной ставке i на интервале времени Т в качестве показателя реальной доходности возьмем простую процентную ставку i_э, обеспечивающую рост начальной суммы S₀ за тот же срок Т до реального значения наращенной суммы С: С = S₀ •(1 + i_э·Т) . Отсюда находим:

, (37)

где С вычисляется по формуле (33). Если реальное значение наращенной суммы С оказывается меньше начальной суммы S₀ (то есть, операция убыточна), то показатель доходности ссудной операции i, является отрицательным.

Аналогично, для операции наращения суммы по сложной процентной ставке i в качестве показателя реальной доходности на интервале времени Т возьмем сложную процентную ставку i_э, обеспечивающую рост начальной суммы S₀ за тот же срок T до реального значения наращенной суммы С: С = S₀ • (1+ i_э)^T. В частном случае, когда h — темп инфляции за период начисления, а срок ссуды Т равен целому числу n периодов начисления, и для вычисления С используется формула (36), находим явное выражение для i_э:

(38)

И в этом случае показатель реальной доходности операции может быть отрицательным, если темп инфляции за период начисления превышает объявленную процентную ставку.

Переменные ставки сложных процентов в финансовой математике

Если ссуда долгосрочная, то в течение срока ее действия ставки процента могут изменяться. Пусть общий срок ссуды Т разбивается на части T₁, Т₂,...T_n причем

в течение срока Т₁ применяется процентная ставка i₁;

в течение срока T₂ применяется процентная ставка i₂;

……………………………………………………………

в течение срока Т_n применяется процентная ставка i_n.

Обозначим множитель наращения за срок Т_k через А_k, а наращенную к концу срока T_k сумму через A_k. Пусть расчет ведется по общему методу, тогда A_k = (1+i_k)^Tk . По формуле (11) находим:

(13)

В краткой форме полученная формула записывается так:

(14)

Попутно мы показали, что коэффициент наращения А за весь срок ссуды равен произведению коэффициентов наращения на составляющих его интервалах:

A=A₁A₂A₃…A_n (15)

Этот результат носит название принципа стабильности рынка.

Пояснения к заданиям по финансовой математике

Простые проценты.

Сущность метода начисления простых процентов по простым процентам в том, что проценты начисляются в течение всего срока на одну и ту же величину капитала, представляемого в кредит.

Наращенная сумма – это совокупная величина основного долга и процентных денег за весь кредитный период или это сумма накопленного заемщиком долга.

Сложные проценты.

Сущность метода начисления по сложным процентам в том, что база для начисления процентов от одного расчетного периода к другому. Сумма начисленных в каждом периоде процентов добавляется к капиталу предыдущего периода, а начисление процентов в последующем периоде производится на эту, уже наращенную величину первоначального капитала. Механизм наращения первоначальной суммы (капитала) по сложным процентам называется капитализацией.

Дисконтирование.

Дисконтирование – приведение экономических показателей (выручки, затрат, капитала) будущих лет к сегодняшней ценности. В качестве ставки дисконтирования может служить ставка банковского процента, учетная ставка, темп инфляции или другой показатель.

Учет инфляции в расчетах.

Инфляция – процесс снижения покупательной способности под воздействием определенных факторов.

Влияние инфляции на величину экономических показателей определяется с помощью индекса инфляции.

Финансовые ренты (аннуитеты).

Современные финансово-банковские операции часто предполагают не отдельные или разовые платежи, а некоторую их последовательность во времени.

Такая последовательность платежей называется потоком платежей, а отдельные элементы этого ряда – члены потока.

Поток платежей, все члены которого положительные величины, называется финансовой ренты или аннуитетом, независимо от назначения или происхождения платежей.

Рента характеризуется параметрами:

• Член ренты (R)

• Период ренты (P)

• Срок ренты (n)

• Процентная ставка (i)

По моменту выплат платежей в пределах периода финансовые ренты подразделяются на :

• Постнумерандо – платежи производятся в конце периода

• Пренумерандо – платежи производятся в начале периода.

Планирование погашения долга.

Расходы, связанные с погашением кредита, т.е. погашением основного долга и выплатой процентов по нему, называется расходами по обслуживанию долга или амортизацией кредита.

Существуют различные способы погашения задолженности. Участники кредитной сделки оговаривают их при заключении контракта. В соответствии с контрактом составляется план погашения долга.

Эквивалентность процентных ставок.

Процентные и учетные ставки решают одинаковые задачи: определение степени доходности при операции наращения или размеры дисконтированных сумм при учетной операции. В связи с этим возможен выбор таких процентных ставок, при пользовании которых финансовые последствия окажутся равноценными.

Процентные ставки и методы их начисления в финансовой математике

Простые и сложные проценты.

Стандартным временным интервалом в финансовых операциях является один год. Поэтому наиболее распространен вариант, когда процентная ставка устанавливается в виде годовой ставки, подразумевающей однократное начисление процентов по истечение года.

Известны две основные схемы дисконтированного начисления процентов:

• Схема простых процентов (simple interest).

• Схема сложных процентов (compound interest).

Схема простых процентов предполагает неизменность базы, с которой происходит начисление.

. (4)

Схема сложных процентов предполагает, что очередной годовой доход исчесляется не с исходной величины инвестированного капитала, а с общей суммы, включающей также и ранее начисленные, и невостребованные инвестором проценты.

. (5)

Очень важно помнить, что

- при 0 < n< 1

- при n = 1

- при n> 1

Таким образом, в случае ежегодного начисления процентов, для лица, предоставляющего кредит:

• выгодной является схема простых процентов, если срок ссуды менее одного года (проценты начисляются однократно в конце периода);

• более выгодной является схема сложных процентов, если срок ссуды превышает один год (проценты начисляются ежегодно);

• обе схемы дают одинаковые результаты при продолжительности периода в один год и однократном начислении процентов (рис. 2).

Пример 1.

Рассчитать наращенную сумму с исходной суммы 1000$ при размещении ее в банке на условиях начисления простых и сложных процентов, если годовая ставка 20 %, период наращивания: 90 дн., 180 дн., 1 год, 5 лет, 10 лет.

($)

Рис. 2. Простая и сложная схема наращивания капитала.

Пример2.

Компания хочет купить машину для снятия фотокопий за 10 000$. Продавец согласен, чтобы компания выплатила деньги по истечение 2 лет, при условии, что она заплатит за это 14 простых процентов за каждый год. Определить сумму процентов и полную выплату.

Проценты:

,

.

Если продавец машины согласен на отсрочку платежа всего на 90 дней, тогда

.

Если продавец машины согласен на отсрочку платежа на 15 месяцев, тогда

.

Процедура начисления процентов на проценты (сложные проценты) называются компаундингом.

Множитель называетсякоэффициентом аккумулирования.

Пример 3.

Вклад 3000$ помещены в банк под 5 % годовых на 3 года. Какая сумма будет накоплена через 3 года (сложные %)?

.

Пример 4.

Предприниматель желает инвестировать значительную сумму денег в акции некоторой корпорации. Корпорация выплачивает ежегодно дивиденды на одну акцию в сумме 3 %. Ожидается, что в течение ближайших 3 лет дивиденды будут увеличиваться ежегодно на 20 %. Рассчитать величину дивидендов для каждого года.

,

,

.

В практических расчетах при реализации схемы сложных процентов для быстрой оценки эффективности предлагаемой процентной ставки пользуются приблизительным расчетом времени, необходимого для удвоения инвестированной суммы. Это правило называется «правило 72-х» и заключается в следующем: если r-процентная ставка, выраженная в процентах, то k = 72/r представляет собой число периодов, за которое исходная сумма приблизительно удваивается. Если базовым периодом, т. е. периодом наращивания является год, то в расчете используется годовая ставка, если квартал, то необходимо использовать квартальную ставку.

Это правило хорошо срабатывает для небольших значений r (до 20 %).

Проценты в финансовой математике

Всякий собственник, имеющий квартиру или гараж, которые он не использует, может сдать их в наем, получая за это определенную плату. Точно также человек, имеющий деньги, которые он не использует, может их дать взаймы другому лицу (или, используя более общий термин, - инвестировать) за определенное вознаграждение. Доход от инвестированного капитала или, в более узком смысле, вознаграждение за использование денег, называется процентными деньгами или краткопроцентами. Сумма денег, данных взаймы, называетсяосновной иликапиталом. Обычно заем дается на определенное время -период. Сумма процентных и основных денег, полагающаяся в конце периода, называетсяитогом. В общем случае отношение процента за период к основной сумме (капиталу) называетсянормой процента. Эта норма чаще всего выражается в форме процентов, при расчетах используются эквивалентные десятичные (реже - натуральные) дроби. При заключении конкретных сделок для обозначения нормы процентов обычно используется другое название -процентная ставка.

ПРИМЕР Иванов взял в сберегательном банке ссуду 10000 рб. Если банк начисляет 250 рб процентных денег за использование этой суммы в течение 6 месяцев, какой будет норма процента за этот период ?

РЕШЕНИЕ Обозначим норму процента за шести месячный период черезi. Тогдаi = 250/10000 = 0.025 = 2.5%.

Проценты за дробное число лет

В различных сделках срок не всегда есть целое число лет, он может быть равен и дробному числу лет. Пусть t = a+ b, где

t – период сделки в годах,

a – целая часть t.

b – дробная часть t.

В таких случаях проценты могут начисляться двумя способами:

• По формуле сложных процентов

• На основе смешанного метода

Заметим, что если общий срок менее года, наращенная сумма вычисляемая по смешанному методу больше, чем наращенная сумма вычисляемая по формуле сложных процентов, т.к. для b<1.

Задача № 7.1.

Клиент банка вносит депозит $3000 на 3,5 года под 40% годовых. Определить величину депозита в конце периода используя два метода: по формуле сложных процентов и на основе смешанного метода.

Решение. По формуле сложных процентов =9740.

На основе смешанного метода: .

Ответ: $9740 и $9879,4.

Задача № 7.2.

Размер депозита 10 млн.руб. Номинальная годовая ставка 50%. Проценты начисляются по полугодиям. Найти наращенную сумму по смешанному методу, если срок депозита 27 месяцев.

Решение. Используя смешанный метод, находим:

Ответ: наращенная сумма 25939941 руб.

Расчет процентной ставки в финансовой математике:

- при наращении по сложной годовой ставке %,

- при наращении по номинальной ставке % m раз в году,

- при наращении по постоянной силе роста.

Ставка дохода на собственный капитал в оценке недвижимости

Ставка дохода на собственный капитал – расчитывается как отношение ежегодных денежных поступлений после вычета расходов по обслуживанию кредита и до уплаты налогов к размеру собственного капитала инвестора в объекте недвижимости.

С учетом других факторов, позволяет проводить оценку привлекательность инвестиций в объекты недвижимости за счет собственных средств.

R Before Tax Cash Flow
E	Value of Equity