Помощь в учебе - Платеж в финансовой математике - RefMag.ru

Платеж в финансовой математике

Список литературы и источников на тему "Платеж в финансовой математике"

Другие похожие работы

Неопределенность размеров платежа и финансовая математика

Определение числа платежей и заключительного платежа в финансовой математике

никакого подходящего аннуитета с

точно

такими же параметрами и

необходимо рассматривать один платеж, отличающийся от

для

того,

чтобы

удовлетворить соотношению эквивалентности.

Обычно,

как

случае простых

аннуитетов,

этот

отличающийся

платеж

бывает заключительным и производится через один интервал

платежа

после последнего регулярного платежа

W . В

дальнейшем считается,

что

все

нестандартные

аннуитеты

содержат заключительный платеж

F ,

который

меньше

и производится через один интервал платежа

после последнего регулярного платежа W .

Когда имеется достаточный набор данных,

число

платежей

заключительный

платеж

находятся

при

помощи

решения

соответствующих

уравнений

эквивалентности.

Технику расчетов

лучше продемонстрировать на примерах.

ПРИМЕР 1

Найти

число

полных

платежей

величину

заключительного платежа, необходимых для

аннулирования долга 10

млн рб, если 1 млн рб выплачивается в

конце каждого года и норма

процента равна 6% , m = 4.

Так как

m =

4 , p = 1

мы

имеем

для

эквивалентного простого аннуитета

R = W / s

i = 1 /s

1,5% .

m p

Так как долг равен 10 млн рб,

A = 10

10 = R а

. Разрешая это

1,5%

равенство относительно а

1,5% , мы получим

= 10 / R = 10s

1,5% = 40,9090338 .

1,5%

Обращаясь к таблицам, мы находим, что эта величина лежит между табулированными значениями для n = 63 иn = 64. Так как в каждом интервале платежа содержится 4 периода начисления процентов, мы приходим к заключению, что 16 полных платежей по 1 млн рб было бы более, чем достаточно, чтобы рассчитаться с долгом, и поэтому аннуитет содержит 15 полных платежей по 1 млн рб и заключительный платежF меньше 1 млн рб, уплачиваемый в конце16-гогода.

Чтобы найти F , представим известные данные на диаграмме

161

Диаграмма интервалов платежа

в главе 4. Если мы добавим 1 к общему аннуитету и его эквивалентной стоимости в конце16-гогода(64-гопериода начисления) и выпишем уравнение эквивалентности с на эту дату, мы получим

		F + R s			= 1 + 10 (1,015) 64 ,
			64	1,5%
где R =1 / s		1,5% = 0,24444479.			Разрешая равенство относительно F ,
	4
мы получим

F = 1 + 10 ? 2,593144 - 0,244445 ? 106,209628 = 0,9691.

Величина F может быть найдена также путем интерполяции способом, подобным описанному впараграфе 4.8. Этот способ состоит в определении числа платежей общего аннуитетаq (но не числа периодов начисления процентовn) путем интерполяции между последовательными целыми числамиq , затем умножением дробной части решения наW получимF .

Общее доказательство справедливости этого способа будет дано в следующем параграфе.

ПРИМЕР 2 НайтиF предшествующего примера путем интерполяции.

РЕШЕНИЕ Как в предшествующем примере, мы находим, чтоап 1,5% =

= 40,9090338 и что это значение лежит между табулированными значениями для n = 63 иn = 64. Однако, так как интерполяция должна быть между последовательными целыми числамиq, для интерполяционной таблички мы используемn = 60 иn = 64

162

	q		16	15 + f	15
а	n		64		60
			40,957853	40,909034	39,380269
	п	1,5%

Интерполируя, мы получаем

f = 0,1528765 / 0,1577584 = 0,969055

и F = f W = 0,969055 млн рб .

ПРИМЕР 3 Некто покупает подержанный автомобиль стоимостью 15 млн рб путем выплаты 5 млн рб наличными и 0,5 млн рб в конце каждого месяца до полного расчета. Найти число платежей и заключительный платеж, если деньги стоят 6% ,m = 2.

РЕШЕНИЕ Способ 1. Ежемесячные платежи будут образовывать аннуитет, для которого настоящая стоимостьA = 10 ,W = 0,5 ,p = 12 ,m = 2 ,i = 3% . Поэтому

10 = R ап 3 % , гдеR = 0,5 /s1 6 3% = 3,03728447.

Определяя отсюда ап 3 % , мы получим

а			3 % = 10 /R = 20s				3% = 3,2924146.	(a)
	п			1 6

Теперь мы можем найти срок и, следовательно, число платежей способом, использованным в примере 1. Однако, потребуется меньше вычислений, если будет использована следующая процедура. Определим по таблице

значение, ближайшее к полученному значению а п i на последнем шаге, затем используем следующие тождества :

i = а

+ (1 + i)-п

(b)

п k

i = а

- (1 + i)-п

(c)

п k

Выберем n как целое, ближайшее к концу срока

аннуитета так, чтобы k

не превышало 1/2 .

В нашем случае а

i ближе к значению, данному

для n = 4 , чем для

n = 3 ,

так что мы выбираем тождество

(c). Таким

образом

163

а п 3 %= а 4 3 %- (1,03) -4 s k 3 %,

где мы написали n на местеn - k для нецелого решения уравнения (a) и

является

дробной

частью,

остающейся

в четвертом

периоде

начисления.

Разрешая это равенство относительно s

3 % , мы получим

= ( а

3 %

- а

3 %

)(1,03) 4

= 0,477985

(d)

3 %

Обратившись к таблице, мы найдем, что

лежит между 2/6 и 3/6. Таким

образом, n лежит между 4 - 1/3 = 3 2/3

и 4 - 1/2 = 3 1/2. Так как имеется

платежей

на

период начисления, то будет

6 ? 3,5 = 21

полных

платежей

двадцать

второй

частичный платеж. Если бы мы

использовали ошибочно

другое

тождество

на этом последнем шаге,

полученное значение

i (

или а

i )

не

было

бы найдено в таблице,

поскольку значение

k превысило бы 1/2. Для того, чтобы определитьF

рассмотрим диаграмму

Интервалы платежа :

...

W W

... W (W)

(W)

(W) (W) (W)

Периоды начисления :

...

3,5

Добавляя три платежа по W к аннуитету и к эквивалентной сумме и выписывая уравнение эквивалентности с концом четвертого периода начисления как датой сравнения, получим

F (1,03)1/3 +R s

= 10 (1,03) 4 +R s 1 2

3 %

Поскольку 10 = R а

3 % и

3 % = (1,03)4 а

3 %

равенство может быть записано в виде

это последнее

F (1,03)1/3 =R s 1 2

3 % - R ( а

3 % - а

3 % )(1,03)4 .

Второе слагаемое в правой части по равенству (d)

равно R s

3 % , так

что

164

Диаграмма периодов начисления процентов

Величина F может

методом, использованным