RefMag.ru - Оценка. Помощь в решении задач, тестов, практикумов, курсовых, аттеста­ционных

RefMag.ru - Помощь в решении в учебе
Заказать:
- заказать решение тестов и задач
- заказать помощь по курсовой
- заказать помощь по диплому
- заказать помощь по реферату

Репетитор оценщика

Готовые работы заочников

Тесты:

Задачи:

Примеры работ по оценке

Примеры курсовых работ
Примеры аттест­ационных работ
Учебные дисциплины
Литература
Заказ работ:




Экспертная и репетиторская помощь по решению тестов, задач, практикумов и всех других видов работ. Сергей.
[email protected], ,

Примеры выполненных работ: | контрольные | курсовые | дипломные | отзывы |




Букинистическая книга:

Список литературы по оценке недвижимости > Оценка показателей рынка недвижимости по статистическим данным на основе многомерного логарифмически нормального закона

Оценка показателей рынка недвижимости по статистическим данным на основе многомерного логарифмически нормального закона

Ласкин М.Б., Русаков О.В., Джаксумбаева О.И. Оценка показателей рынка недвижимости по статистическим данным на основе многомерного логарифмически нормального закона // Экономический журнал Высшей школы экономики. 2016. Т. 20. № 2. С. 268-284.

Скачать оригинал статьи

Фрагмент работы на тему "Оценка показателей рынка недвижимости по статистическим данным на основе многомерного логарифмически нормального закона"

268 ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ ВШЭ № 2 Экономический журнал ВШЭ. 2016. Т. 20. № 2. С. 268–284. HSE Economic Journal, 2016, vol. 20, no 2, pp. 268–284. Оценка показателей рынка недвижимости по статистическим данным на основе многомерного логарифмически нормального закона Ласкин М.Б., Русаков О.В., Джаксумбаева О.И. Статья посвящена исследованию рынка недвижимости на предмет на- личия объективно обоснованных закономерностей ценообразования, фор- мирования коэффициента капитализации и рентной ставки. Авторами ста- тьи предлагается метод оценки показателей рынка недвижимости: коэффи- циента капитализации, рыночной стоимости недвижимости, рентной ставки на основе стохастической модели ценообразования. В применяемой модели главная стохастическая компонента представляет собой случайный вектор, составленный из совместно нормально распределенных логарифмов цен продаж и рентных ставок. Данный метод может быть использован для полу- чения объективно обоснованных текущих рыночных показателей рынка не- движимости. Соответствие эмпирических распределений цен совместному логнормальному закону распределения вероятностей подтверждается ста- тистическими данными по рынку недвижимости Санкт-Петербурга. Для про- верки статистических гипотез используется критерий согласия Колмогорова – Смирнова. В соответствии со стандартами оценки Европейского союза, Ве- ликобритании, США, Российской Федерации, под рыночной стоимостью по- нимается «наиболее вероятная цена, по которой объект оценки может быть отчужден на дату оценки на открытом рынке в условиях конкуренции, когда стороны сделки действуют разумно, располагая всей необходимой инфор- мацией, а на величине цены сделки не отражаются какие-либо чрезвычай- ные обстоятельства». Рыночная стоимость рассматривается как числовая характеристика (мода) плотности распределения случайной величины (цен предложений или цен сделок). Коэффициент капитализации рассматривает- ся как случайная величина, имеющая условное логарифмически нормальное распределение при условии, что стоимость недвижимости или значение ______________________________ Ласкин Михаил Борисович – к.ф.-м.н., доцент, директор ООО «Инвест-Строй». E-mail: [email protected] Русаков Олег Витальевич – к.ф.-м.н., доцент кафедры теории вероятностей и математической статистики Санкт-Петербургского государственного университета. E-mail: [email protected] Джаксумбаева Ольга Ильинична – к.э.н., ассистент кафедры информационных систем в эко- номике Санкт-Петербургский государственный университет. E-mail: [email protected] Статья поступила: 07.12.2015/Статья принята: 28.04.2016. 2016 ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ ВШЭ 269 рентной ставки известны. В статье приводится пример распределений цен предложений, цен сделок на рынке стрит-ритейла (коммерческая торговая недвижимость) в г. Санкт-Петербурге в 2013 г. Произведен расчет коэффи- циентов капитализации для условных распределений. Показано, что коэф- фициент капитализации имеет сложную вероятностную природу и не яв- ляется константой. Получено, что в рамках использования разработанной ав- торами стохастической модели ценообразования, при условии, что цены продажи и рентные ставки имеют совместное логарифмически нормальное распределение, оценки рыночной стоимости (рыночной ставки арендной пла- ты), полученные сравнительным и доходным подходами, совпадают и не тре- буют обычной процедуры согласования. Ключевые слова: рыночная стоимость недвижимости; стохастическая модель це- нообразования; коэффициент капитализации; мода логарифмически нормального закона распределения; критерий согласия Колмогорова – Смирнова. В теории и практике оценки при применении доходного подхода и метода прямой капитализации возникает вопрос о том, как определить коэффициент капитализации. Для этой цели используются разные подходы, например, такие как суммирование рисков, САРМ, модельные техники (модели Инвуда, Хоскольда, Ринга, Гордона). Обзор дан в книге Озерова Е.С. [Озеров, 2007]. Традиционные подходы предполагают возможность прогно- зирования будущих доходов, учета таких величин, как требуемая норма доходности, без- рисковая ставка, премии за различные виды рисков и т.д. Сконструированные таким об- разом коэффициенты (мультипликаторы) могут не соответствовать текущему состоянию рынка. Инвестору при планировании целесообразно проверить, имеет ли возможность текущее состояние рынка дать «требуемую» доходность. Для этого может быть использо- вана обширная и доступная статистика по продаже и аренде объектов недвижимости в разных сегментах рынка, позволяющая делать обоснованные и весьма точные оценки как коэффициента капитализации, соответствующего текущему состоянию рынка, так и ры- ночной стоимости (рыночных ставок аренды). Как правило, в практике оценки выборки не являются представительными, содержат малое количество объектов сравнения. При этом, как справедливо отмечалось Грибовским С.В. [Грибовский, 2008], проверка стати- стических гипотез часто не производится. В настоящей статье предлагается метод, по- зволяющий на основе доступного статистического материала делать обоснованные оцен- ки текущего значения коэффициента капитализации секторов рынка, рыночной стоимо- сти, рыночной ставки аренды. Как известно, коэффициент капитализации определяется соотношением (1) , NOI R V = где NOI – чистый операционный доход за период (как правило, за год); V – стоимость объекта; R – коэффициент капитализации (в процентах годовых). В настоящей статье мы рассматриваем приведенные величины (из расчета на 1 кв. м). При расчетах сравни- 270 ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ ВШЭ № 2 тельным подходом величины NOI и V определяются путем сравнения с некоторым множеством аналогичных характеристик объектов сравнения, следовательно, NOI и V являются случайными величинами. Случайная величина полностью описывается своей функцией распределения (функцией накопленных вероятностей) или плотностью рас- пределения, если последняя существует. Как указано в Федеральном законе [ФЗ № 135 «Об оценочной деятельности в Российской Федерации», 1998], «…под рыночной стоимо- стью объекта оценки понимается наиболее вероятная цена, по которой объект оценки может быть отчужден на дату оценки на открытом рынке в условиях конкуренции, когда стороны сделки действуют разумно, располагая всей необходимой информацией, а на ве- личине цены сделки не отражаются какие-либо чрезвычайные обстоятельства…». Ана- логичные формулировки, в основе которых фигурирует «наиболее вероятная цена», со- держат и зарубежные стандарты оценки (см., например: [IVS (p. 30 a), 2012; TEGOVA (EVS p. 5.3.1), 2013; USPAP (Standard rule 6-2, p.c.), 2014; RICS (p. 3.2.1), 2014]. Таким образом, ры- ночная стоимость (в одномерном случае) стандартами определена как мода закона рас- пределения (наиболее вероятная цена – точка максимума плотности распределения цен). При определении коэффициента капитализации следует учитывать, что частное двух случайных величин само является случайной величиной, т.е. имеет свою функцию рас- пределения и числовые характеристики, которые определяются законом распределения. Кроме того, следует учитывать, что величины NOI и V могут быть (и являются!) зави- симыми случайными величинами (распределение каждой их них зависит от того, какое значение приняла вторая). Одним из хорошо изученных и имеющих применение в экономических задачах яв- ляется логарифмически нормальное распределение [Aitchinson, Brown,1963]. Существуют теоретические основания, подтвержденные практическими наблюдениями, считать, что распределения цен, образованные последовательными сравнениями большого количест- ва объектов, имеют в качестве предела (по распределению) логарифмически нормаль- ный закон. Например, в работе исследователей Центра японской экономики и бизнеса Колумбийского университета [Ohnishi, Mizuno, Shimizu, Watanabe, 2011] приводятся дан- ные исследований по Большому Токио, в которых наблюдается (при отсутствии сильных внешних возмущений) логарифмически нормальный закон распределения цен. Работа исследователей Римского университета [Ciurlia, Gheno, 2009], посвященная исследованию динамики цен на недвижимость во времени, одним из следствий имеет следование цен закону логарифмически нормального распределения. Нами доказано [Русаков, Ласкин, Джаксумбаева, 2015], что при достаточно простых и естественных предположениях про- цесс последовательных сравнений цен сходится по распределению к логарифмически нормальному закону распределения. Этот результат очевидным образом распространя- ется и на арендные ставки, следовательно, и на случайную величину NOI , которую в рамках данной работы мы тоже полагаем распределенной логарифмически нормально. Логарифмирование равенства (1) дает очевидное равенство (2) ln( ) ln( ) ln( ), R = ? NOI V что дает возможность переходить от рассмотрения логнормальных законов к нормальным законам (в том числе условным). Отметим также, что если ln( ), ln( ) V NOI распределены совместно нормально с параметрами ?1 , 2 ?1 , ?2 , 2 ?2 соответственно, с коэффициентом 2016 ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ ВШЭ 271 корреляции ? , то ln( ) R распределен нормально с параметрами ?2 1 ? ? , 2 2 1 2 12 ? +? ? 2?? ? . Наиболее вероятными значениями (модами логнормальных законов) величин V , NOI , R являются (3) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 2 12 ( ) exp , ( ) exp , ( ) exp 2 . Mode V Mode NOI Mode R = ? ?? = ? ?? = ? ?? ?? ?? + ?? ? В практике оценки при определении коэффициента капитализации часто говорят о «наиболее типичном» коэффициенте капитализации (разумеется, для изучаемого сек- тора рынка). В рамках данной статьи и следуя логике определения рыночной стоимости, данной в ФЗ № 135, мы будем вместо «наиболее типичного» (этот термин нуждается в определении) говорить о наиболее вероятном значении коэффициента капитализации. Замечание 1. Результат деления ( ) ( ) Mode NOI Mode V не является наиболее вероятным («наиболее типичным»). Как показано ниже, если удалось доказать закон двумерного (со- вместно логарифмически нормального) распределения величин NOI и V , то за коэф- фициентом капитализации остается лишь справочное значение – рыночная стоимость бу- дет определена по условному закону распределения величины V , при условии NOI n = oi . Если случайные величины NOI и V зависимы, имеют совместное логарифми- чески нормальное распределение, то все условные (одномерные) распределения вели- чины V , при условии NOI n = oi и величины NOI, при условии V v = , будут логариф- мически нормальными. Обозначим рыночную стоимость (как наиболее вероятное значе- ние) Mode V NOI noi ( ) | = , наивероятный коэффициент капитализации при условии, что арендная ставка известна ( ), NOI noi = обозначим Mode R NOI noi ( ) | = . Утверждение 1. Если случайные величины NOI и V имеют совместное лога- рифмически нормальное распределение, то при фиксированном NOI n = oi рыночная стоимость равна (4) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 1 21 2 Mode V NOI noi noi | exp ln( ) 1 , ? ? ? = = ? +? ?? ?? ?? ? ? ? ? ? наивероятный коэффициент капитализации равен (5) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 1 21 2 Mode R NOI noi noi noi | exp ln( ) ln( ) 1 . ? ? ? = = ?? ?? ?? ?? ?? ? ? ? ? ? Доказательство сводится к записи известных формул для переменных NOI и V (см. в Приложении). 272 ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ ВШЭ № 2 Замечание 2. Наиболее вероятное значение условного коэффициента капитали- зации (при условии NOI n = oi ) не соответствует результату деления noi ModeV . Если удается статистически доказать совместное двумерное распределение, значение коэффи- циента капитализации как мультипликатора, переводящего ставку ренты в рыночную стоимость, утрачивается. Рыночная стоимость определяется по формуле (4). За коэффи- циентом капитализации остается только справочная функция, как характеристики со- стояния рынка. Для недвижимости, способной приносить доход, важное значение имеет изучение двумерного совместного распределения величин V и NOI . Его построение приводит к необходимости вместо одномерных рыночных стоимости и рентной ставки рассматри- вать наиболее вероятную пару (V , NOI ). Наиболее вероятной парой является точка максимума плотности совместного распределения. Утверждение 2. Абсолютный максимум плотности совместного (двумерного) ло- гарифмически нормального распределения величин V и NOI находится в точке с ко- ординатами: (6) ( ) 2 1 1 12 V = exp , ? ?? ??? ? ( ) 2 2 2 12 NOI = exp . ? ?? ? ?? ? Доказательство также не представляет большой сложности (см. в Приложении). Замечание 3. Коэффициент капитализации в точке абсолютного максимума ра- вен ( ) 2 2 2121 R = exp . ? ?? ?? +? Значение R в данном случае совпадает с частным от де- ления наивероятных безусловных значений V , NOI , но не совпадает с безусловным наивероятным значением (см. формулы (3)). Замечание 4. Построение двумерного совместного распределения величин (V , NOI ) полностью описывает состояние сектора рынка, статистика по которому исполь- зуется для расчетов. Может быть определена наиболее вероятная пара (V , NOI ) и со- ответствующий ей коэффициент капитализации. По заданному значению NOI n = oi (или V v = ) может быть определена рыночная стоимость (или рыночная ставка аренды). Геометрически плотности условных распределений являются сечениями двумерной плотности при NOI n = oi (или V v = ). Коэффициент капитализации сохраняет спра- вочное значение как одна из характеристик состояния рынка. Замечание 5. Наиболее вероятная пара сразу дает как рыночную стоимость, опре- деленную сравнительным подходом, так и рыночную стоимость, определенную доход- ным подходом методом прямой капитализации. Место обычного согласования резуль- татов занимает расчет точки абсолютного максимума двумерной плотности. Гипотеза о совместном логарифмически нормальном распределении величин V и NOI (совместном нормальном распределении их логарифмов) требует проверки каж- дой двумерной выборки на совместную нормальность. Для того чтобы вектор был рас- пределен совместно нормально, необходимо и достаточно, чтобы любая линейная ком- бинация его компонент была распределена нормально (как одномерная случайная вели- чина). Так как проверить на нормальность все линейные комбинации практически не- 2016 ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ ВШЭ 273 возможно, мы предлагаем критерий, в котором используются повороты исходного векто- ра с последующей проверкой одномерных распределений компонент на нормальность. Утверждение 3 (Критерий двумерной совместной нормальности). Рассмотрим матрицу поворота системы координат на положительный угол ?, где ?? +? [0, ,) cos sin . sin cos A? ? ? ? ?? = ? ? ? ? ? ? Пусть ( ) , T X Y – случайный вектор со значениями в 2 R с нулевым математиче- ским ожиданием компонент. Каждая компонента вектора ( ) , , ( ) T T X?? ? Y A XY = имеет нормальное распределение для каждого ?? +? [0, ) тогда и только тогда, когда вектор ( ) , T X Y имеет совокупно нормальное распределение. Доказательство дано в Приложении. Отметим, что если вектор ( ) X Y, имеет совместное двумерное нормальное рас- пределение, то и вектора вида ( ) aX bY cX dY + + , имеют совместное нормальное распределение для любых вещественных ( ) abcd ,,, . Кроме того, вектор ( ) aX bY cX dY pX qY ++ + , , будет иметь совместное нормальное распределение в 3 R . Из этого следует, что если ста- тистически подтверждается совместная двумерная логнормальность пары ( ) V NOI , , то пары (,) V R и ( ) R,NOI , а также тройка ( ) V, , NOI R совместно логарифмически нормальны. Рассмотрим следующий пример. Для построения примера были использованы дан- ные ГУП ГУИОН г. Санкт-Петербурга, размещенные на официальном сайте НП СРОО «Со- общество профессионалов оценки» (www.cpa-russia.org). Рассматривались цены предло- жений и продаж, ставки аренды (предложения и совершенные сделки) для коммерческой торговой недвижимости в г. Санкт-Петербурге в 2013 г. Основной проблемой в данном случае и в практике оценки является отсутствие парных наблюдений (цифры по продаже и аренде по одному и тому же объекту). Данную проблему мы решаем путем группирова- ния данных. Для группировки данных мы использовали следующий прием, основанный на информации, опубликованной в отчете об определении кадастровой стоимости [КУГИ Правительства Санкт-Петербурга, 2012]. А) В Отчете об определении кадастровой стоимости [КУГИ Правительства Санкт- Петербурга, 2012] весь город условно разбит на 285 экономических зон. Принцип разбие- ния – по социально-экономической однородности. Следуя логике отчета, мы предполо- жили, что в пределах одной экономической зоны цены не слишком отличаются друг от друга и могут пониматься как цены на однородные объекты (т.е. следуют стохастической модели последовательных сравнений и асимптотически подчиняются логарифмически нормальному закону распределения с малой дисперсией). 274 ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ ВШЭ № 2 Б) Цены продаж и цены аренды (как по предложениям, так и по сделкам) пролога- рифмированы и усреднены в каждой такой экономической зоне, в которой в 2013 г. были предложения или совершались сделки. Полученная соответствующая пара чисел ln( ) V и ln( ) NOI считается одним парным наблюдением. Оцененные параметры получившихся двумерных законов имеют следующие значения: для пары цена предложения – цена предложения аренды (7) 1 ? = 5,05754, 2 ? = 2,91559, 1 ? = 0,37232, 2 ? = 0,34009, ? = 0,53769; для пары цена сделки (продажа) – цена сделки (аренда) (8) 1 ? = 4,62730, 2 ? = 2,67422, 1 ? = 0,55005, 2 ? = 0,56403, ? = 0,27897. В) Затем все наблюдения мы центрируем. На рис. 1 показаны диаграммы рассеи- вания наблюденных точек на плоскости ln( ) V и ln( ) NOI для пар цена предложения – цена предложения аренды (слева) и (справа) для пар цена сделки (продажа) – цена сделки (аренда). Центры координат помещены в точку 1 ? = 5,05754, 2 ? = 2,91559 на левой диаграмме, в точку 1 ? = 4,62730, 2 ? = 2,67422 на правой диаграмме. Рис. 1. Диаграммы рассеивания центрированных пар логарифмов цен продаж и логарифмов цен аренды (слева по предложениям, справа по сделкам) Г) Проверяя гипотезу совместной нормальности распределения ln( ) V и ln( ), NOI мы применили критерий Утверждения 3. Для этого использовался тест Колмогорова – Смирнова (КС-тест) для исходных выборок ( ) 1 ln( ) , V ? ? ( ) 2 ln( ) NOI ? ? и выборок, по- лученных из исходных путем поворота против часовой стрелки на угол ? от 0 до ? с ша- гом в 1 градус. При заданном значении p-value (> 0,05) оснований отвергнуть гипотезу о совместном логарифмически нормальном распределении нет. Ниже показаны графики зависимости значения p-value от угла поворота для всего цикла испытаний для пар цена предложения – цена предложения аренды (рис. 2) и для пар цена сделки (продажа) – цена сделки (аренда) (рис. 3). Не наблюдалось ни одного значения ниже 0,05 (минимальные 0,39, 0,37). Принимается гипотеза о совместном логарифмически нормальном распреде- лении величин V и NOI . 2016 ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ ВШЭ 275 Рис. 2. Зависимость значения p-value: слева для переменной V от угла поворота ? , справа для переменной NOI (по ценам предложений) Рис. 3. Зависимость значения p-value: слева для переменной V от угла поворота ? , справа для NOI (по ценам сделок) На рис. 4 представлены плотность теоретического двумерного логарифмически нормального распределения величин V и NOI (для цен предложений), построенного по оцененным параметрам (7). На левой диаграмме показана проекция поверхности на плоскость ( ) V NOI , . Хорошо видны линии рассеяния, отвечающие фиксированному зна- чению вероятности. На правой диаграмме – трехмерное изображение плотности. Хорошо видны линии одномерных условных логарифмически нормальных распределений V (при фиксированном NOI ) и линии условных логарифмически нормальных распределе- ний NOI (при фиксированном V ). Подставляя параметры закона распределения (7) в (6), получаем координаты точки абсолютного максимума: V =127,847 (тыс. руб./1 кв. м), NOI = 15,361 (тыс. руб./1 кв. м в год), при которых коэффициент капитализации равен ( ) 2 2 211 2 R = ? ?? +? ?? = exp 12,02% (это оценка капитализации на рынке стрит-ритейла в целом по рынку Санкт-Петербурга в 2013 г.). R при этом не является наиболее вероятным, но соответствует наивероятной паре и даже отношению одномерных наиболее вероятных значений V , NOI . 276 ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ ВШЭ № 2 Рис. 4. Плотность двумерного логарифмически нормального распределения, построенного по оцененным параметрам цен предложений V и предложений арендной платы NOI для сектора стрит-ритейла г. Санкт-Петербурга в 2013 г. На рис. 5 представлены плотность двумерного логарифмически нормального рас- пределения величин ( ) V NOI , для цен сделок. Параметры закона распределения даны в формулах (8). Рис. 5. Плотность двумерного логарифмически нормального распределения, построенного по оцененным параметрам цен сделок (продажа) V и цен сделок по аренде NOI для сектора стрит-ритейла г. Санкт-Петербурга в 2013 г. Подставляя параметры закона распределения (8) в (6), получаем координаты точки абсолютного максимума: V = 69,302 (тыс. руб./1 кв. м), NOI = 9,678 (тыс. руб./1 кв. м в год), при которых коэффициент капитализации равен ( ) 2 2 211 2 R = ? ?? +? ?? = exp 13,96%. 2016 ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ ВШЭ 277 Обсуждение полученных результатов. Оценка коэффициента капитализации для наиболее вероятной пары ( ) V NOI , , полученная по ценам предложений R =12,02%, близка к оценке, полученной по ценам сделок R = 13,96%, но является более консерва- тивной. Обращает на себя внимание разница наиболее вероятных пар, указывающая на значительное расхождение между ценами предложений и ценами сделок по аренде и, особенно, по ценам сделок продаж. Это, по-видимому, индивидуальная особенность ис- пользованных данных. Данные по сделкам вполне достоверны, так как являются резуль- татами торгов, проведенных Фондом имущества г. Санкт-Петербурга. Данные по предло- жениям, содержащиеся в использованной базе, отличаются высокими ценами, и сравне- ние с ценами сделок говорит о потенциально возможной очень высокой скидке на торг (около 50%). В случае, если для объекта (оценки) известна ставка арендной платы NOI n = oi (например, использование объекта соответствует наилучшему экономическому исполь- зованию и ставка аренды известна), рыночная стоимость определяется по формуле (4). Наивероятный коэффициент капитализации в этом случае определяется по формуле (5). В таблицах 1, 2 (для случая условных распределений) представлены: при заданном зна- чении NOI n = oi наиболее вероятная цена ModeV (рыночная стоимость 1 кв. м) и коэф- фициент капитализации R . Величина R относится только к той паре значений, для ко- торой рассчитана и имеет только справочное значение. Рыночная стоимость (ставка арен- ды) определяется по плотности условного распределения. Результаты для цен предложе- ний приведены в табл. 1, а для цен сделок – в табл. 2. Таблица 1. Ставки арендной платы (тыс. руб. за 1 кв. м в год) и соответствующие им рыночная стоимость (тыс. руб. за 1 кв. м) и коэффициент капитализации для пары цена предложения – цена предложения аренды NOI noi = ModeV R , % 12,000 110,551 10,85 12,500 113,239 11,04 13,000 115,884 11,22 13,500 118,488 11,39 14,000 121,051 11,57 14,500 123,578 11,73 15,000 126,069 11,90 15,361 127,847 12,02 15,500 128,526 12,06 16,000 130,950 12,22 16,500 133,344 12,37 17,000 135,708 12,53 17,500 138,044 12,68 18,000 140,352 12,82 278 ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ ВШЭ № 2 Таблица 2. Ставки арендной платы (тыс. руб. за 1 кв.м в год) и соответствующие им рыночная стоимость (тыс. руб. за 1 кв.м) и коэффициент капитализации для пар цена сделки (продажа) – цена сделки (аренда) NOI no = i ModeV R , % 6,000 60,876 9,86 6,500 62,211 10,45 7,000 63,474 11,03 7,500 64,673 11,60 8,000 65,815 12,16 8,500 66,906 12,70 9,000 67,951 13,24 9,500 68,954 13,78 9,678 69,302 13,96 10,000 69,920 14,30 10,500 70,851 14,82 11,000 71,751 15,33 11,500 72,621 15,84 12,000 73,464 16,33 Если вернуться к рассмотрению совместного двумерного распределения случайных величин ( ) V NOI , , то следует отметить, что приведенные в табл. 1 и 2 пары ( ) V NOI , , как точки на плоскости ( ) V NOI , , не равновероятны: по мере удаления от наиболее вероятных значений эти пары становятся более редкими (маловероятными). Кроме это- го, табл. 1 и 2 иллюстрируют тот факт, что R не является константой. Выводы. 1. Коэффициент капитализации является случайной величиной, определенной соотношением (1), где числитель и знаменатель – случайные величины. 2. Если рентные ставки и цены недвижимости имеют совместное логарифмически нормальное распределение, то и коэффициент капитализации, определяемый по условным законам распределения V или NOI , тоже распределен логарифмически нормально. 3. При построении двумерного закона совместного распределения величин ( ) V NOI , за коэффициентом капитализации остается лишь справочное значение, как од- ной из важных характеристик рынка. 4. При построении двумерного закона совместного распределения величин ( ) V NOI , могут быть получены оценки рыночной стоимости (рыночной ставки аренд- ной платы), соответствующие оценкам, которые могли быть получены сравнительным и 2016 ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ ВШЭ 279 доходным подходами. Согласование результатов не требуется, так как они получаются одинаковыми. 5. Двумерный закон распределения величин ( ) V NOI , , поверхность плотности распределения, параметры закона ?1 , ?1 , ?2 , ?2 , ? полностью описывают состояние изучаемого сектора рынка на дату публикации статистического материала. Приложение. Доказательство Утверждения 1. Рассмотрим двумерное логнормальное распреде- ление величин V , NOI и двумерное нормальное распределение величин ln( ) V , ln( ). NOI Известно, что плотность двумерного нормального распределения с нулевым вектором средних задается при xy R , ? следующей формулой: ( ) 2 2 , 2 2 2 2 1 1 ( , ) exp 2 2 1 2 1 X Y x y x y x y x xy y f xy ? ? ? ? = ? ?? + ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? , где 2 ?x , 2 ?y – дисперсии случайных величин X и Y, соответственно; ? – коэффициент кор- реляции компонент вектора X и Y. Общая формула для условной плотности вектора, име- ющего совместную плотность pxy (, ) , | (, ) (, ) () ( | ) . ( ) (, ) XY y pxy pxy p x px y p y p x y dx = +? ?? == = ? Тогда выражение для формулы условной плотности двумерного нормального век- тора: ( ) 2 2 2 1 1 ( | ) exp . 2 1 2 1 x y x x y fX y ? ? ? ? = ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? Таким образом, при каждом y случайная величина X имеет нормальное распре- деление с параметрами (| ) , x y EX Y y y ? = =? ? ( ) 2 2 (| ) 1 . DX Y y = =? ? x ? Полагая 2 X NOI = ? ln( ) , ? 1 Y V = ? ln( ) , ? 2 2 1 , ? =?y 2 2 2 , ? =?x получаем формулу условной плотности величины ln( ) V при условии ln( ) ln( ) : NOI noi = 280 ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ ВШЭ № 2 ( ) ( ) 2 1 2 2 2 1 2 1 1 1 ln( ) ln( ) ln( ) | ln( ) ln( ) exp . 2 1 2 1 V noi f V NOI noi ? ? ? ? ? ?? ?? ? = = ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Таким образом, условное распределение ln( ) V (при условии ln( ) ln( ) NOI noi = ) нормально с параметрами ( ) 1 1 2 2 E V NOI noi noi (ln( ) | ln( ) ln( )) ln( ) , ? = = ? + ? ? ? ? ( ) 2 2 1 D V NOI noi (ln( ) | ln( ) ln( )) 1 , = =? ?? следовательно, V распределено логарифмически нормально с теми же параметрами, и мода V (наиболее вероятное значение – рыночная стоимость при заданном значении чистого годового дохода) равна ( ) ( ) 1 2 2 1 21 2 Mode V NOI noi noi ( | ) exp ln( ) 1 . ? ? ? = = ? +? ?? ?? ?? ? ? ? ? ? Из соотношения (2) следует, что при фиксированном NOI n = oi условные рас- пределения коэффициента капитализации R логарифмически нормальны и наиболее вероятное значение коэффициента капитализации равно ( ) ( ) 1 2 2 1 21 2 Mode R NOI noi noi noi ( | ) exp ln( ) ln( ) 1 . ? ? ? = = ?? ?? ?? ?? ?? ? ? ? ? ? Утверждение 1 доказано. Доказательство Утверждения 2. Плотность двумерного логарифмически нормального распределения величин X и Y с нулевым вектором средних задается формулой ( ) 2 2 , 2 2 2 2 1 1 1 (ln( )) ln( )ln( ) (ln( )) ( , ) exp 2 , 2 1 2 1 X Y x y x y x y x xy y f xy xy ? ? ? ? = ? ?? + ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? где 1 xy – значение Якобиана преобразования системы координат при переходе к лога- рифмическим координатам. Максимум значения этой функции достигается в точке, в которой все производные по направлениям равны нулю. Вычисляя частные производ- ные и приравнивая их к нулю, получаем систему двух уравнений с двумя неизвестными: ( ) ( ) 22 2 1 12 1, 1 1 x y? ?+ = ? ?? ?? ?? 2016 ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ ВШЭ 281 ( ) ( ) 22 2 12 2 1 1 1 ?x y ? = ?? ?? ? ?? и ее решение: 2 1 12 x = ?? ? ?? ? , 22 12 y = ?? ??? ? . Вводим обозначение 1 x V = ? ln( ) , ? 2 y NOI = ? ln( ) ? и получаем для переменных V и NOI координаты точки абсолютного максимума: ( ) 2 1 1 12 V = exp , ? ?? ??? ? ( ) 2 2 2 12 NOI = exp . ? ?? ? ?? ? Утверждение 2 доказано. Доказательство Утверждения 3. Для доказательства воспользуемся известным критерием совокупной нормально- сти: случайный вектор совокупно нормален тогда и только тогда, когда любая его линей- ная комбинация имеет одномерное нормальное распределение. Необходимость. Так как поворот – линейное преобразование, а суперпозиция ли- нейных преобразований – также линейное преобразование, то любая линейная комби- нация компонент вектора ( ) , T X Y ? ? есть линейная комбинация вектора ( ,)T X Y . Достаточность. Теперь допустим, что для любого ?? ? [0, ) каждая из компонент вектора ( ) , T X Y ? ? имеет одномерное нормальное распределение (с нулевым средним). В частности, YX Y sin cos . ? = ? + ? Очевидно, вырожденные случаи sin 0, ? = cos 0 ? = дают одномерную нормальность каждой из компонент X и Y. Рассмотрим невырожден- ный случай sin 0, ? ? cos 0. ? ? Запишем 1 tg , cos YX Y ? = ? + ? откуда следует, что лю- бая линейная комбинация X и Y c невырожденными коэффициентами является нор- мально распределенной случайной величиной. Аналогично для X ? . Утверждение 3 доказано. ? ? ? СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ Грибовский С.В. Математические методы оценки стоимости недвижимого имущества. Учеб- ное пособие / С.В. Грибовский, С.А. Сивец. М.: Финансы и cтатистика, 2008. Ласкин М.Б., Русаков О.В., Джаксумбаева О.И., Ивакина А.А. Особенности рыночной стоимо- сти на рынке недвижимости при логарифмически нормальном распределении // Имущественные отношения в Российской Федерации. 2016. № 2(173). С. 40–50. Озеров Е.С. Экономический анализ и оценка недвижимости. Санкт-Петербург: Изд-во «МКС», 2007. 282 HSE Economic Journal No 2 Отчет об определении кадастровой стоимости объектов недвижимости (за исключением зе- мельных участков), расположенных на территории Санкт-Петербурга. КУГИ Правительства Санкт- Петербурга. Том 2, раздел 2.3. СПб., 2012. (http://rosreestr.ru/wps/portal/p/cc_ib_portal_services/ cc_ib_ais_fdg/co/) Субъект РФ: С-Петербург. Виды объектов: Недвижимость, помещения. Отчет № 32-1-0733/2012(2), Санкт-Петербург, 30.11.2012. Русаков О.В. Стохастическая модель ценообразования на рынке недвижимости: формиро- вание логнормальной генеральной совокупности / О.В. Русаков, М.Б. Ласкин, О.И. Джаксумбаева // Вестник УМО. 2015. № 5. С. 116–127. Федеральный стандарт оценки № 2 «Цель оценки и виды стоимости (ФСО № 2)» (утвержден Приказом Минэкономразвития России № 255 от 20.07.2007. Зарегистрирован в Минюсте России 23.08.2007). Aitchinson J., Brown J.A.C. The Lognormal Distribution with Special References to its Uses in Economics. Cambridge University Press, 1963. Ciurlia P., Gheno A. A Model for Pricing Real Estate Derivatives with Stochastic Interest Rates // Mathematical and Computer Modelling. 2009. 50. Р. 233–247. European Valuation Standards 2012 / The European Group of Valuers’ Associations. Brussels, 2012. (http://www.tegova.org/en/p4fe1fcee0b1db) International Valuation Standards 2013. Framework and Requirements / International Valuation Standard Council. London, 2013. (http://www.ivsc.org/sites/default/files/IVS%202013%20without% 20guidance.pdf) Ohnishi T., Mizuno T., Shimizu C., Watanabe T. On the Evolution of the House Price Distribution. Columbia Business School. Center of Japanese Economy and Business, Working Paper Series, № 296. May 2011. Royal Institution of Chartered Surveyors Valuation Professional Standard 2014 / RICS. 2014. Uniform Standards of Professional Appraisal Practice, 2014–2015 edition. Appraisal Institute, 2014. (http://www.uspap.org/) Estimation of the Real Estate Market Indexes According to Statistical Data and Based on Multidimensional Log-normal Distribution Laskin Michael1, Rusakov Oleg2, Jaksumbaeva Olga3 1 ООО «Invest-Stroy», 28–30, Sadovaya str., St. Petersburg, 191023, Russian Federation. E-mail: [email protected] 2 Saint-Peterburg State University, 7–9, Universitetskaya emb., St.Petersburg, 199034, Russian Federation. E-mail: [email protected] 3 Saint-Peterburg State University, 7–9, Universitetskaya emb., St.Petersburg, 199034, Russian Federation. E-mail: [email protected] The article researches a real estate markets with the aim to find objectively justified patterns for the following real estate market indexes: pricing, rate of rent, and capitalization ratio 2016 HSE Economic Journal 283 appraisals. Authors of the article introduce a new method of estimation of these indexes. This method is based on a stochastic model in which the main stochastic component is a random vector with jointly normal distributed terms: logarithm of prices of sales and logarithm of rates of rent. The introduced method is applied for monitoring of objectively justified indexes for real estate markets. Statistical processing of Saint-Petersburg real estate market data results that the empirical distributions of the prices significantly fit to the two dimensional lognormal law of distribution. For establishing statistical hypotheses accordance the authors use Kolmogorov – Smirnov test of fit. The modern standards of appraisal in EU, UK, USA, Russian Federation uniquely treat real estate market value as follows: “For the aim of establishing of the market value one determines the most probable price with the following necessary conditions. At this price the real estate object could be sold on the date of estimation in the open competitive market, when the parties to the deal behave reasonably, having full access to all necessary information, and the price of the deal is not affected by any force majeure circumstances”. The market value is defined as a numerical characteristic (mode) of density of distribution of a random value: price of supply or price of bargain. In the article the capitalization ratio appraisals is a random value with conditionally lognormal distribution under condition that the price or the rate of rent is known. The paper gives examples of empirical distributions of prices of supplies, prices of bargains on the street retail markets for Saint-Petersburg in 2013. The examples of calculation of the capitalization ratio appraisals are also given. The article proves that the capitalization ratio appraisals has a non-trivial probabilistic nature and it is not a constant. The article also proves that in the frame of the introduced stochastic model of pricing under assumption of the joint lognormality of the price of sale and the rate of rent two most used estimations of the market value equal, where the first one is based on the gain approach and the second one is base on the comparative approach. Consequently, a corresponding procedure of concordance this two approaches is not needed. Key words: real estate market value; stochastic model of pricing; capitalization ratio; mode of the logarithmically normal law of distribution; Kolmogorov – Smirnov test of fit. JEL Classification: C46, R30. ? ? ? References Gribovskij S.V. (2008) Matematicheskie metody ocenki stoimosti nedvizhimogo imushestva [Mathematical Methods of Real Estate Cost Estimation (eds. S.V. Gribovsky, S.A. Sivets)]. Educational grant. Moscow: Finance and Statistics. Laskin M.B., Rusakov O.V., Dzhaksumbaeva O.I., Ivakina A.A. (2016) Osobennosti rynochnoj stoimosti na rynke nedvizhimosti pri logarifmicheski normal'nom raspredelenii [Features of Market Value in the Real Estate at Logarithmic Normal Distribution Model]. The Property Relations in the Russian Federation, 2, 173, pp. 40–50. Ozerov E.S. (2007) Ekonomicheskij analiz i ocenka nedvizhimosti [Economical Analysis and Real Estate Cost Estimation]. St. Petersburg, MKS Publishing House. 284 HSE Economic Journal No 2 KUGI, St. Petersburg Government (2012) Otchet ob opredelenii kadastrovoj stoimosti obektov nedvizhimosti (za iskljucheniem zemel'nyh uchastkov), raspolozhennyh na territorii Sankt-Peterburga [Cadastre Cost Determination Report of the Real Estate Objects (except for the land plots) located in St. Petersburg] Vol. 2, section 2.3. SPb. Available at: http://rosreestr.ru/wps/portal/p/cc_ib_portal_services/cc_ib_ ais_fdg/co/) Territorial subject of the Russian Federation: St.-Petersburg. Types of objects: Real estate, rooms. Report no 32-1-0733/2012(2), Sankt-Peterburg, 30.11.2012. Rusakov O.V. (2015) Stohasticheskaja model' cenoobrazovanija na rynke nedvizhimosti: formirovanie lognormal'noj general'noj sovokupnosti [Stochastically Pricing Model in the Real Estate Market: Formation of Lognormal Population (eds. O.V. Rusakov, M.B. Laskin, O.I. Dzhaksumbaeva)]. UMO Bulletin, 5, pp. 116–127. The Ministry of Economic Development of the Russian Federation (2007) Federal'nyj standart ocenki no 2 «Cel' ocenki i vidy stoimosti (FSO no 2)» [The Federal appraisal standard no 2 "Appraisal Purpose and Types of Cost"] (approved by the Order of the Ministry of Economic Development of the Russian Federation no 255 from 7/20/2007. It is registered in the Ministry of Justice of the Russian Federation 8/23/2007). Aitchinson J., Brown J.A.C. (1963) The Lognormal Distribution with Special References to its Uses in Economics. Cambridge University Press. Appraisal Institute (2014) Uniform Standards of Professional Appraisal Practice, 2014–2015 edition. Available at: http://www.uspap.org/ Ciurlia P., Gheno A. (2009) A Model for Pricing Real Estate Derivatives with Stochastic Interest Rates. Mathematical and Computer Modelling, 50, pp. 233–247. International Valuation Standard Council (2013) International Valuation Standards 2013. Framework and Requirements. London. Available at: http://www.ivsc.org/sites/default/files/IVS%202013% 20without% 20guidance.pdf Ohnishi T., Mizuno T., Shimizu C., Watanabe T. (2011) On the Evolution of the House Price Distribution. Columbia Business School. Center of Japanese Economy and Business, Working Paper Series, no 296, May. RICS (2014) Royal Institution of Chartered Surveyors Valuation Professional Standard 2014. The European Group of Valuers’ Associations (2012). European Valuation Standards 2012. Brussels. Available at: http://www.tegova.org/en/p4fe1fcee0b1db

Другие книги из этого раздела





© 2002 - 2024 RefMag.ru