Облигации и оценка стоимости

Чтобы дать представление о покупной цене облигации для большого разнообразия норм доходности, должны быть подготовлены подробные таблицы. Пример такой таблицы приводится ниже.

Когда таблицы имеются под рукой, многие проблемы облигаций могут быть решены при помощи простого взгляда на них. Более того, так как нормы доходности табулированы для значений, которые различаются только на 0,05 % , интерполяция промежуточных значений дает высокую точность.

Так как разнообразное использование таблиц довольно очевидно, в иллюстративных примерах нет надобности. Однако следует подчеркнуть, что не все задачи об облигациях можно решить с использованием таблиц и, следовательно, крайне желательно знание всех методов, рассмотренных в предшествующей части настоящей главы.

Покупная цена облигации с номинальной стоимостью 10 млн рб,

за которую выплачивается процент с нормой			j2 = 4% .
----------------------------------------------------------------
Норма	Время до выкупа, годы
доходности	-----------------------------------------------
(m = 2)	8	8,5	9	9,5
----------------------------------------------------------------
3,25%	10,5246	10,5531	10,5812	10,6088
3,30%	10,4887	10,5152	10,5412	10,5669
3,35%	10,4529	10,4774	10,5015	10,5252
3,40%	10,4172	10,4397	10,4619	10,4836
...	...	...	...	...
3,85%	10,1024	10,1079	10,1132	10,1184
3,90%	10,0682	10,0718	10,0753	10,0788
3,95%	10,0340	10,0358	10,0376	10,0393
4,00%	10,0000	10,0000	10,0000	10,0000

----------------------------------------------------------------

Учет векселей в финансовой математике

Банковский учет применяется при операции по учету векселей банком или другим финансовым учреждением. Вексель - это подписанное обязательство заемщика уплатить в указанный срок определенную сумму предъявителю векселя или лицу, указанному в векселе. Суть операции учета векселя заключается в следующем: банк до наступления срока платежа по векселю приобретает его у владельца по цене, которая меньше суммы, указанной на векселе, то есть, покупает (учитывает) его с дисконтом (со скидкой), получая при наступлении срока платежа по векселю деньги в сумме, указанной на векселе, банк реализует дисконт. При этом применяется банковский учет: проценты в виде дисконта начисляются на сумму, подлежащую уплате в конце срока

Для подсчета получаемой при учете векселя суммы в случае простой учетной ставки d используется формула (42). Примем момент выдачи векселя за нулевой; Т - общий срок обязательства; N - указанная на векселе сумма (номинал векселя). Пусть операция учета векселя производится в момент времени t, так что оставшийся до погашения векселя срок равен Т-t. Тогда сумма S_t, получаемая владельцем векселя при его учете (стоимость векселя в момент времени T) определяется по формуле:

(47)

Дисконт D_t при этом равен:

D_t=N·d·(T-t).

Если срок до погашения векселя измеряется в днях, то принимают

Т - t =?/К , где ? -количество дней до погашения векселя, К - временная база (чаще всего используются обычные проценты с точным числом дней ссуды). Формула расчета стоимости векселя принимает вид:

Пусть теперь вексель после его покупки и до наступления срока погашения продан. Эффективность (доходность) этой операции можно измерить, например, в виде ставки простых или сложных процентов. Пусть номинал векселя равен N , и он куплен (учтен) по простой учетной ставке d₁ за ?₁ дней до наступления срока. Цена в момент покупки равна

Пусть далее тот же вексель за ?₂ дней до погашения продан с дисконтированием по ставке d₂ по цене:

Таким образом, в начале операции инвестирована сумма S₁, в конце операции получена сумма S₂, длительность операции ?₁-?₂ дней. Определим годовую ставку i_э простых процентов, обеспечивающую эквивалентный финансовый результат, из уравнения

Откуда выводим:

(48)

Ставка i_э определяет эффективность (доходность) финансовой операции покупки и продажи векселя. Если S₂< S₁,то операция убыточна. Показатель доходности операции покупки векселя с последующим его погашением определяется по этой же формуле при ?₂=0, S₂=N.

При учете векселя может использоваться сложная учетная ставка. По формуле (44) находим стоимость векселя в момент времени t:

(49)

В качестве меры доходности операции переучета векселя можно также использовать сложную годовую ставку процентов. Для ее определения составим уравнение:

где Т =(?₁-?₂) /К – срок операции, S₁ – цена векселя в момент покупки, S₂ – цена, по которой он был продан. Отсюда получаем явное выражение для показателя доходности i_э:

Доходность операции покупки векселя с последующим его погашением определяется тем же способом при ?₂=0, S₂=N.

Цена облигации между датами начисления процентов в финансовой математике

Ранее мы отмечали, что точная стоимость облигации		между датами
начисления дается формулой P = P0 (1 +	i)f , гдеP0	представляет
стоимость облигации в предшествующую	дату начисления, i - норма
доходности облигации и f является дробной частью периода начисления,

которая истекла после последней даты начисления. Теперь мы получим точную формулу для определения накопленного процента облигации R' .

Если использовать точный метод, понятно, что покупателю и продавцу следует разделить предстоящую выплату процентов облигации соответственно закону сложных процентов. Пусть R' будет долей продавца, полагающейся в день продажи, аR" будет долей покупателя, полагающейся в предстоящую дату начисления процентов. Эти две

доли должны	быть эквивалентными	процентному платежу	облигации
R , делаемому в конце периода, как показано на диаграмме
	R'	R"
f	1 – f	R
Равенство стоимостей на конец периода дает
	R' (1 +i)1 – f	+ R" = R	(a)

Так как обе доли R' иR" неизвестны, нам нужно иметь еще одно соотношение между ними, для того, чтобы однозначно определить их значения. Второе соотношение может быть получено путем следующих рассуждений. Так как определениеR' иR" должно быть справедливым как для покупателя так и для продавца, перестановка временных интерваловf и1-f приводила бы к перестановкеR' иR" , как показано на следующей временной диаграмме

R" R'

1 – f

f

R

129