Кредит в оценке стоимости

лет. Если норма процента			равна	j12 = 6% , найти доли продавца и
покупателя в стоимости дома в конце шестого года после сделки.
РЕШЕНИЕ Так как амортизируется 70 млн рб
70 = R а			или	R = 70 /а				1/2% = 0,5907 ,
		1/2%
	180				180

которые ежемесячно выплачиваются. Неоплаченная часть стоимости дома в конце 6 лет может быть найдена или методом перспективы или ретроспективным методом, но метод перспектив в этом случае будет проще. Представим выплаты за последние 9 лет на временной диаграмме

72	73	74	75 ...	179	180
P	R	R	R ...	R	R

Приравнивание стоимостей дает

P = R а180 1/2% = 0,5907 ? 83,29342446 = 49,2014 млн рб,

которые являются неоплаченной частью стоимости дома, или долей продавца в конце 6 лет. Так как первоначальная цена дома была 100 млн рб, доля покупателя равна

100 - 49,2014 = 50,7986 млн рб.

ПРИМЕР 4	Петров купил участок земли		стоимостью		100	млн рб,
заплатив 40 млн рб наличными и остальное			ежемесячными взносами по
0,5 млн рб до полной выплаты стоимости участка. Если норма						процента
равна 5% эффективных, найти долю Петрова в конце десятого года.
РЕШЕНИЕ	Так как	число платежей		неизвестно,		удобней
использовать ретроспективный метод. Платежи по 0&5 млн					рб образуют
общий аннуитет, поэтому		мы сначала найдем эквивалентный годовой

аннуитет. Таким образом, мы имеем

R = W/s m p i = 0,5 /s 12 5 % =

= 0,5 ? 12,27257753 = 6,136289 млн рб,

83

Планирование погашения долгосрочной задолженности в финансовой математике

При значительных размерах задолженности долг обычно погашается в рассрочку, частями. Разработка плана погашения займа заключается в составлении графика периодических платежей должника (срочных уплат), включающих как средства, предназначенные для погашения основного долга, так и текущие процентные платежи. Рассмотрим два основных способа погашения долга.

1). Погашения основного долга равными суммами. Пусть долг в сумме D погашается в течение n лет, и пусть проценты выплачиваются каждый раз в конце года по ставке i. В этом случае сумма, ежегодно идущая на погашения основного долга, составит d = D / n . Размер долга при этом последовательно сокращается:

D, D-d, D-2d, ..., 0.

Уменьшается и сумма выплачиваемых процентов, так как они начисляются на остаток долга.

Пример. Долг в сумме 12000 руб. необходимо погасить последовательными равными суммами за 3 года платежами постнумерандо. За заем выплачиваются проценты по ставке 20% годовых. План погашения долга представлен ниже. Цифры внизу таблицы указывают порядок заполнения ее столбцов.

Год	В счет основного долга	Проценты за кредит	Срочная уплата	Остаток долга после платежа
1	4000	2400	6400	8000
2	4000	1600	5600	4000
3	4000	800	4800	-

(1) (3) (4) (2)

2). Погашение долга равными срочными уплатами. Согласно этому методу расход должника по обслуживанию долга (срочные уплаты) постоянны на протяжении всего срока погашения. Из каждой срочной уплаты часть выделяется на уплату процентов, а остаток идет на погашение основного долга. Для разработки плана погашения нужно сначала определить размер срочной уплаты, а затем разбить каждую из срочных уплат на процентные платежи и сумму, идущую на погашение основного долга.

Пусть срок погашения займа n лет, и проценты начисляются в конце каждого года по ставке i . Обозначим сумму каждой срочной уплаты через R . Периодическая выплата в конце каждого года суммы R представляет собой постоянную годовую ренту постнумерандо. Приравнивая сумму долга D к современной величине этой ренты, найдем величину срочной уплаты:

Пример. Долг в сумме 12000 необходимо погасить равными срочными уплатами за 3 года платежами постнумерандо. За заем выплачиваются проценты по ставке 20% годовых. План погашения долга представлен ниже.

Год	В счет основного долга	Проценты за кредит	Срочная уплата	Остаток долга после платежа
1	3296,70	2400	5696,70	8703,30
2	3956,04	1740,66	5696,70	4747,45
3	4747,45	949,25	5696,70	-

(3) (2) (1) (4)

При заполнении таблицы сначала вычисляется размер ежегодной срочной уплаты, затем на остаток долга начисляются проценты, далее вычисляется сумма, идущая на погашение основного долга (разность между срочной уплатой и процентами за кредит), после этого вычисляется новый остаток долга.

Планирование погашения долгосрочной задолженности в финансовой математике

Планирование погашения долгосрочной задолженности в финансовой математике

Важное практическое приложение теории аннутентов – составление различных вариантов (планов) погашения задолженности. При составлении плана погашения возникает необходимость в определение размеров платежей заемщика – выплаты процентов и выплаты по погашению основного долга при различных условиях погашения (амортизации, такие платежи носят название срочных уплат).

В практике финансовых отношений заемщика и кредитора возможны следующие варианты погашения задолженности:

1) Займы без обязательного погашения, по которым постоянно выплачиваются проценты. В данном случае необходимо определить размер платежа при заданной процентной ставке (случай вечного аннутента). Размер платежа определяется из формулы современной величины вечного аннутента

R = A *i_c (5.1)

2) Погашение долга в один срок

Если заемщик должен вернуть всю сумму долга в конце срока, целесообразнее бывает создание погасительного (амортизационного) фонда, для чего вносятся в банк определенные суммы, на которые начисляются проценты.

Для дальнейшей записи формул введем обозначения:

D – Основная сумм долга;

g_c – ставка процентов по займу, g - льготная процентная ставка, по которой предоставлен кредит;

J – сумма процентов по займу;

R – разовый взнос в погасительный фонд (годовые расходы по погашению основного долга)

i_c – ставка процентов на взносы в погасительный фонд;

- срочная уплата, ^? - величина срочной уплаты по льготной ставке;

Общая сумма долга по формуле сложных процентов составит:

(5.2)

3) погашение основго долга равными суммами (проценты периодически выплачиваются). Тогда на погашение постоянно идут платежи размером Д/n, а процентные выплаты ежегодно сокращаются, так как уменьшается основная сумма долга.

Для определения размера срочной уплаты и процентного платежа после любого (к-ого) года:

(5.3)

4) Погашение долга с использованием постоянных срочных уплат n. В данном варианте со временем составляющая «J» будет уменьшаться, так как уменьшается основная сумма задолженности. Соответственно составляющая «R» будет увеличиваться.

Периодическая выплата постоянной суммы «» при заданной процентной ставке «g» в течение «n» лет является аннутентом с соответствующими параметрами. Поэтому величина срочной уплаты определяется по формуле:

(5.4)

- коэффициент приведения ренты)

5) Во многих случаях предпочтительнее оказывается погашение долга с использованием переменных срочных уплат. Срочные уплаты могут изменяться в соответствии с некоторой закономерностью или задаваться графиком погашения.

6) На практике часто встречается случай, когда заранее задаются размеры всех срочных уплат, кроме последней, определяемой величиной остатка долга на начало последнего периода.

7) Возможно изменение условий погашения кредитов (конверсия займа). При этом могут изменяться срок погашения займа, процентная ставка, порядок годовых выплат и т.д. При любом методе конверсии первоначально определяется сумма выплаченного основного долга и величина непогашенной его части. Непогашенная часть долга рассматривается как новый долг, подлежащий уплате на новых условиях.

8) В финансовой практике может возникнуть ситуация, когда кредитору, предоставившему несколько займов одному заемщику, удобно объединить эти займы в один, то есть произвести их консолидацию. Первым шагом при консолидации займов является нахождение величин остатков каждого долга. Рассчитав остатки долгов и просуммировав их, получают объединенный долг, на который составляется новый план погашения.

9) Иногда долгосрочные кредиты выдаются на льготных условиях (политические, социальные или иные соображения). Как правило, в данном случае кредит предоставляется по ставке значительно ниже рыночной на данный момент. В результате предоставления подобной льготы заемщик фактически получает субсидию. Кредитор же теряет определенную сумму в результате этой сделки. Эта добровольно упущенная выгода кредитора называется грант – элементом. Он может быть подсчитан в виде абсолютной или относительной величины.

Абсолютный гран-элемент определяется по формуле:

(5.5)

где абсолютный грант-элемент может быть определен как разность между номинальной суммой (D) кредита и современной величиной погасительных платежей и выплаченных процентов (G), то есть:

(5.6)

Относительный гран элемент равен: (5.7)

10) Погашение ипотечной ссуды. При составлении плана погашения ипотечной ссуды решаются задачи, аналогичные погашению долгосрочных займов, - определение размеров срочных уплат и остатка задолженности на любой момент времени.

Например, погашение равными ежемесячными срочными уплатами:

(5.8)

где D – сумма долга,

р=m число выплат и начисления процентов;

n – число лет, на которые предоставлен кредит.

Расчет оставшейся суммы основного долга в любой (к-й) расчетный период можно произвести по формуле:

(5.9)

Погашение долга равными срочными (аннуитетными) выплатами

Расходы должника при расчете по этому методу постоянны на протяжении всего срока погашения долга. Обозначим через A- сумму долга, Y - срочная уплата, I_k - проценты по займу, R_k - расходы по погашению основного долга (k - номер периода погашения). Тогда очевидно, что

Y = I _k + R _k

При этом остаток основного долга и суммы процентных платежей уменьшаются от периода к периоду, R_k- увеличиваются. Срочные уплаты являются обычными рентами. Если задан срок погашения n, то легко находим величину срочной уплаты Y. Для этого приравняем сумму долга A к современной величине ренты (см. формулу (17)).

Y = A / a(n;i), (22)

где a(n;i) - коэффициент приведения годовой ренты со ставкой процентаi и сроком n.

Пример. Банк выдал долгосрочный кредит в сумме 4 млн. руб. на 5 лет под 6% годовых. Погашение кредита должно производиться равными ежегодными выплатами в конце каждого года, включающими погашение основного долга и процентные платежи. Проценты начисляются раз в год. Определите величину ежегодной выплаты.

Решение. Здесь A = 4 млн. руб., n = 5 лет, i = 0,06. По формуле (22) находим величину ежегодной выплаты:

Y = 4 = 949 600 руб.

Погашение потребительского кредита в финансовой математике

В потребительском кредите проценты, как правило, начисляются на всю сумму кредита, присоединяются к основному долгу уже в момент открытия кредита. Погашение долга процентами производится частями (обычно равными суммами) на протяжении всего срока кредита. Пусть D - сумма основного долга без процентов (цена товара), n - срок кредита в годах, i - годовая ставка простых процентов, то наращенная сумма долга S равна:

S=D (1+in) ,

а величина разового погасительного платежа R составит:

R = ,

где p - число платежей в году (обычно 12).

При досрочном погашении долга возникает задача определения остатка задолженности. Для ее решения следует разбить величину R на проценты и сумму, идущую на погашение основного долга: R = R+ R , R- проценты, R- размер погашения основного долга.

Один из возможных вариантов такого разбиения – равномерное распределение выплат процентов. В этом случае вся сумма процентов делится на равные доли по количеству выплат, и в каждом погасительном платеже проценты составляют величину R= (Di)/p , а в счет погашения основного долга идет сумма: R= D/(pn). .

За рубежом при определении остатка задолженности часто используется так называемое правило 78. В случае, когда срок кредита равен одному году и кредит погашается ежемесячными платежами, согласно этому правилу распределение процентных платежей по месяцам производится следующим образом:

Месяц	1	2	3	…	11	12
Проценты				…

Легко проверить, что сумма этих выплат совпадает с общей суммой процентных платежей:

+ +...+=Di

(сумма номеров месяцев в году равна 78 – отсюда и название правила).

Это правило можно обобщить для кредита со сроком N месяцев. При этом сумма номеров месяцев Q = N(N+1)/2 , а общая сумма начисленных процентов равна Din , где n - срок кредита в годах.

Покупка в рассрочку в финансовой математике

При покупке товара в рассрочку покупатель, по существу, реализует амортизацию долга, вызванного приобретением товара. Очевидно, что платежи рассрочки эквивалентны цене товара при некоторой норме процента. Однако, принимаемая норма процента редко когда обеспечивает эквивалентность обоих возможностей (оплата наличными или путем рассрочки). В самом деле, способ, при помощи которого определяются платежи, обычно неявно использует норму процента. Имеется два традиционно используемых способа определения платежей так, чтобы норма процента не проявлялась. Один из них называется

план завышения, другой - план текущей платы.

При использовании плана завышения торговец устанавливает цену товара для продажи в рассрочку и делает скидку с этой установленной цены, если товар покупается за наличные деньги. Например, набор мебели продается за 300 млн рб наличных денег. Торговец устанавливает цену

84