Фонды в финансовой математике

Планирование погасительного фонда в финансовой математике

Если по условиям займа должник обязуется вернуть сумму долга в конце срока в виде разового платежа, то он должен принять меры по обеспечению этого. Если сумма долга велика, то обычная мера состоит в создании погасительного фонда. Погасительный фонд создается из последовательных взносов должника (например, на специальный счет в банке), на которые начисляются проценты. Таким образом, должник имеет возможность последовательно инвестировать средства для погашения долга. Сумма взносов в фонд вместе с начисленными процентами, накопленная в погасительном фонде к концу срока долга, должна быть равна сумме долга.

Создание фонда не всегда связано с погашением долга. В практике возникает необходимость накопления средств в заданном размере и по другим причинам – например, для замены изношенного оборудования..

Рассмотрим простейший случай, когда накопление производится путем регулярных ежегодных взносов R , на которые начисляются сложные проценты по ставке i . Сумма основного долга равна D .

Если фонд должен быть накоплен за n лет, и платежи осуществляются в конце каждого года, то соответствующие взносы образуют постоянную годовую ренту постнумерандо с параметрами R , n , i . Наращенная сумма ренты равна сумме долга D :

D = R .

Из этого равенства определяется величина ежегодного платежа в фонд:

R = .

Пусть теперь взносы в фонд вносятся не ежегодно, а p раз в год через равные промежутки времени (например, в конце каждого полугодия, квартала, месяца), равными суммами. Взносы в фонд образуют p - срочную ренту постнумерандо. Приравнивая наращенную сумму ренты сумме долга D , найдем годовую сумму взносов в фонд:

Планирование страхового фонда

В финансовой практике встречаются ситуации, когда кредитный контракт предусматривает выплату займа разовым платежом. В этом случае, особенно при значительных размерах кредита, заемщик для своевременного погашения долга создает страховой фонд.

Рассмотрим планирование фонда с постоянными срочными взносами. Пусть создание страхового фонда производится путем внесения в банк ежегодных взносов R, на которые начисляются сложные проценты по ставке i. Одновременно происходит начисление процентов на величину долга по простой ставке g. В этом случае срочная уплата составит:

Y = Ag + R, (23)

где A - величина долга. Найдем величину R. Поскольку фонд должен быть накоплен за n лет, то взносы образуют обычную ренту с параметрами R, n, i (см. п. 5 ). Так как накопленная сумма (наращенная сумма ренты) должна быть равна величине основного долга A, то A= R?s(n;i). Тогда величина ежегодного взноса равна:

R = A / s(n;i).

Подставляя это значение в (23), получим:

Y = A g + A / s(n;i), (24)

т.е. в фонд систематически вносится сумма, равная R = A / s(n;i). Если условия контракта предусматривают присоединение процентов к сумме основного долга, то срочная уплата определяется следующим образом:

Y = A (1 + g) ⁿ / s(n;i).

Накопленные за k лет средства фонда определяются по формулам наращенных сумм обычных рент или рекуррентно:

S_k+1 = S _k (1 + i) + R. (25)

Пример. Фирма получила кредит 50 млн. руб. на 4 года под 8% годовых в банке А. Погашение долга производится разовым платежом. Одновременно с получением кредита фирма начала создавать страховой фонд, открыв счет в банке Б, где на взносы начисляются 10% годовых. Определите ежегодные расходы фирмы по амортизации долга при условии, что в погасительный фонд вносятся ежегодно равные суммы.

Решение. Параметры финансовой операции:

A = 50,0; g = 8 %; i = 10 %; n = 4, s(4;0,1) = 4,6410;

Находим величину ежегодных взносов в страховой фонд:

R = 50/ 4,6410 = 10,7735 млн. руб.

Процентные платежи по долгу I = A ? g = 50 ? 0,08 = 4 млн руб. Накопления на конец года в фонде (для банка Б) рассчитаем по формуле (25):

S₁ = R = 10,7735 млн. руб. (S ₀ = 0),

S₂ = 10,7735 ? 1,1 + 10,7735 = 22,6244 млн руб.

S₃ = 22,6244 ? 1,1 + 10,7735 = 35,6603 млн руб.

S₄ = 35,6603 ? 1,1 + 10,7735 = 49,9998 » 50,0 млн руб.

План погашения представим в виде таблицы:

В данной ситуации фирма-заемщик сумела с выгодой для себя реализовать кредитную операцию, т.к. i >g. В результате общая сумма расходов по погашению долга составила 59,0940 млн руб., что значительно меньше, чем, если бы фирма погасила долг разовым платежом. Экономия составила:

DD = 50 ( 1 + 0,08 ? 4 ) - 59,0940 = 6,9060 млн. руб.

Замечание: более сложные схемы погашения долга см. в [1], [3].

Погасительные фонды в финансовой математике