Эффективность и оценка стоимости

61

Анализ эффективности инвестиционных процессов - финансовая математика

В условиях рыночной экономики инвестирование позволяет нарастить капитал. Для этого надо уметь анализировать инвестиционные процессы.

В инвестиционном проекте средства сначала вкладываются в какую-либо сферу (производство, строительство, торговля, ценные бумаги и т.д.) а затем они постепенно возвращаются, принося инвестору к концу срока проекта определенную прибыль.

Задача инвестора: на основе имеющихся на момент начала проекта данных о доходности вложений в различные сектора рынка и их прогнозе на период реализации проекта выбрать оптимальный вариант вложения имеющихся у него финансовых средств.

Хотя такая задача сложна и содержит в себе моменты неопределенности и риска, но даже простые модели позволяют многое прояснить, выяснить связи между параметрами инвестиционных процессов, допустимые диапазоны их изменения и т.д. и, в конечном счете, принять правильное решение.

Непосредственным объектом анализа инвестиционных процессов являются потоки платежей, в которых инвестиции отрицательны, доходы положительны.

Показатели эффективности инвестиций - финансовая математика

Методы, которыми осуществляют оценку эффективности инвестиционного процесса, основаны на приведении финансовых потоков инвестиций к одному моменту времени, следовательно, важным моментом является выбор ставки сравнения, по которой производится дисконтирование. Какую ставку принять в данной ситуации - дело макроэкономического анализа и прогноза. В общем случае для решения таких задач применим и стохастический анализ и экономико-математическое моделирование. Для выбора вариантов инвестиционного проекта (ИП) применяемые методики чаще всего основаны на использовании четырех показателей:

1. Чистая современная стоимость (NPV);

2. Период (срок) окупаемости;

3. Внутренняя норма доходности;

4. Индекс рентабельности (рентабельность).

Каким образом вычисляется первый показатель, мы уже рассмотрели в предыдущем пункте. Отрицательное значение NPV говорит о нецелесообразности для инвестора данного варианта ИП. Среди вариантов с NPV?0 выбирают тот, у которого NPV больше. Однако этот лучший с точки зрения NPV проект надо еще сравнить с вариантом вложения средств на банковский депозит, учитывая, что риск в этом случае меньше.

Рассмотрим пример, для которого последовательно вычислим все показатели эффективности ИП.

Пример (основной). Даны два варианта ИП А и Б, которые характеризуются следующими потоками платежей (все показатели отнесены на конец года) (см. рис. 8):

С_А = (-100; -150; 50; 150; 200; 200),

С_Б = (-200; -50; 50; 100; 100; 200).

Рис. 8

Первый показатель у каждого потока отнесен к первому году, следующий ко второму и т.д. При ставке сравнения i = 10% получим:

NPV_А = 162,2; NPV_Б = 57,7.

Следующий показатель - срок окупаемости (n_ок). Это срок, за который можно возвратить инвестированные в проект деньги. Рассмотрим определение срока окупаемости без учета фактора времени. В этом случае n_ок находимпоследовательным суммированием доходов и подсчетом времени до тех пор, пока сумма дохода не окажется равной сумме инвестиций.

Пример. Сравним по сроку окупаемости n_ок два варианта ИП из основного примера. Для варианта А суммируем годовые доходы:

50 + 150 + 200x = 250, x = 0,25 года.

Отсюда, для варианта А имеем n_ок = 2 + 0,25 = 2,25 года.

Аналогично для варианта Б находим: 50 + 100 + 100 = 250, следовательно, n_ок = 3 года.

С финансовых позиций более обоснованными являются методы расчета срока окупаемости, учитывающие фактор времени. Рассмотрим простейший из них. Более сложные методы см. в [1]. Представим данный метод в виде алгоритма.

1. Находим величину инвестиций К, приведенную к моменту их завершения;

2. Вычисляем сумму последовательных членов чистых доходов Р_m приведенных на момент завершения инвестиций до тех пор, пока,

Тогда m - целое число лет, составляющих срок окупаемости n_t. Доля года рассчитывается по формуле (К- Р_m)/R_m+1V^m+1.

3. Окончательно имеем

n_t = m + (К- Р_m)/R_m+1V^m+1.

Оценим n_t для предыдущего примера. Здесь t = 2 - момент завершения инвестиций, ставка сравнения i = 10 %.

Вариант А: сумма инвестиций, приведенная на момент их завершения

К_А = 100(1+0,1) +150 = 260.

Далее, Р₂ = 169,4; Р₃ = 319,7 т.е. Р₂ ? К_А ? Р_3.

Следовательно, m = 2 годам, тогда

Аналогично для варианта В: К_В = 200(1+0,1) +50 = 270,

Р₃ = 203,2; Р₄ = 339,8 т.е. Р₃ ? К_В ? Р₄, тогда m = 3 годам и окончательно:

Основной недостаток срока окупаемости в том, что он не учитывает доходы после момента полного возмещения вложенных средств. Особенно нагляден этот недостаток в случае, когда отдачи от вложений капитала неравные. Поэтому срок окупаемости не должен служить критерием выбора инвестиционного проекта, а использоваться в виде ограничения при принятии решения о данном инвестиционном проекте.

Внутренняя норма доходности. Найдем такую ставку процента i_B, при которой становятся равными дисконтированная стоимость потоков расходов и дисконтированная стоимость потока доходов. Проведем финансовый анализ для инвестора, т.е. будем считать его расходы отрицательными, поступления положительными. Если обозначить члены финансового потока через R_S (R_S ? 0 - расходы, R_S ? 0 - доходы), то i_B определится из уравнения

(30)

Если уравнение NPV(i)=0 имеет единственный положительный корень i_B, то его называют ставкой доходности или внутренней нормой доходности (internal rate of return = irr) инвестиционного проекта. Эта норма доходности представляет собой максимальную ставку процента, под которую инвестор мог бы взять кредит для финансирования ИП, а доходы, поступающие от реализации проекта, использовались бы для погашения суммы кредитов и процентов.

Пусть кредит получен по ставке, тогда при i = i_B положение инвестора не изменится при принятии такого проекта (бесприбыльный проект).

Если i ? i_B ,то такой ИП нужно отвергнуть. При i ? i_B проект можно принять, выбрав из всех вариантов проект с наибольшим значением i_B.

Таким образом, экономическая задача свелась к решению математической задачи отыскания корней уравнения NPV(i)=0.

Здесь уместно сделать следующее замечание относительно существования и единственности положительного корня уравнения (1). В [2] сформулирована теорема, утверждающая, что если последовательность (R(1), R(2),…, R(n )), где R(k)= R₁+R₂+…+R_k - сумма накопленных платежей до момента t_k, причем, R₀ ?0 и R(n) ? 0, имеет ровно одну перемену знака, то уравнение (30) имеет единственный положительный корень.

На практике вначале проверяют выполнения условия теоремы, и если оно выполнено, то с помощью компьютера находят корень уравнения (30).

Однако этот корень можно вычислить с помощью линейной интерполяции. Именно, если f(a) и f(b) имеют разные знаки, например, f(a) ? 0, f(b) ? 0, то приближенное значение корня можно вычислить по формуле

Пример. Пусть некоторому ИП соответствует следующий поток платежей:

R_k = (-5, 1, -3, 8, 4) при t_k = (0, 1, 2, 3, 4).

Найдем i_B.

Решение. Проверим условие теоремы. R_k= (-5, -4, -7, 1, 5), т.е. последовательность {R_k}имеет ровно одну перемену знака. Следовательно, уравнение

f(i) = -5 + (1+i)^-1 –3(1+i)^-2 + 8 (1+i)^-3 + 4(1+i)^-4 = 0

имеет единственный положительный корень i_B. Составляя таблицу значений f(i) от 0,20 до 0,25 с шагом 0,01, заметим, что f(0,22) ? 0, f(0,23) ? 0 т.е. i_B?(0,22; 0,23). Используя формулу линейной интерполяции с шагом 0,01, получим:

Следовательно, внутренняя норма доходности данного ИП i_B = 22.11 %.

Последний из рассматриваемых показателей эффективности – индекс рентабельности (рентабельность) r ИП представляет собой отношение суммы всех дисконтированных денежных доходов от инвестиций к сумме всех дисконтированных инвестиционных расходов:

где P_k - показатели чистого дохода в момент времени t_k, R_k - размеры инвестиционных затрат, S = 1,2,3,…n₁; j = 1,2,…n₂, где n₁ – продолжительность процесса инвестиций, n₂ – продолжительность периода отдачи от инвестиций. Если r ? 1, то проект должен быть отклонен. Среди проектов, у которых r ? 1, следует отдать предпочтение проекту с наибольшим индексом рентабельности. Заметим, что не всегда проект с наибольшим r будет иметь и самую большую NPV.

Пример. Вычислим рентабельность для ИП из основного примера (ставка процента i = 10 %). Имеем:

В заключение сделаем некоторые замечания о методике выбора ИП на основе рассмотренных четырех показателей эффективности. Если для фирмы важен, например, период окупаемости, тогда сначала на его основе отвергают неприемлемые варианты. Если же этот показатель для фирмы не очень важен, то его не применяют вообще. Как было показано выше, все показатели эффективности строятся на основе дисконтирования инвестиционного потока, поэтому результаты сравнения зависят от выбора важнейшего параметра анализа – принятой ставки сравнения. Действительно, если в последнем примере ставка сравнения равна 20 %, тоr_A= 1,105, r_B = 0,763. Это объясняет тот факт, почему многие фирмы применяют не один, а два и более показателей эффективности. Наибольшей популярностью у инвесторов пользуется внутренняя норма доходности, которая считается основным критерием, а остальные – дополнительными. В странах с развитой рыночной экономикой большинство крупных фирм в качестве пары «основной - дополнительный критерий» используют чаще всего пару «i_B- NPV» и «NPV - i_B» . Если при выборе ИП с помощью выбранной пары возникают заметные расхождения, то привлекают третий показатель, или проводят более глубокий финансовый анализ (см. [ 6 ]).

Для окончательного решения привлекаются и дополнительные критерии, связанные, например, с экологией и безопасностью персонала.

Задачи

8.1. Инвестор вкладывает 10 денежных единиц (д.е.) в момент t = 0, затем 4 д.е. через 2 года и получает 20 д.е. через 5 лет. Найдите NPV, i_B для этого проекта, если i = 10%.

8.2. ИП характеризуется следующим потоком платежей: R = (-80, 10, 10, 20, 40, 30, 50), t = (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6). Определите PV доходов, срок окупаемости n_ок (без учета фактора времени), если i = 10%.

8.3. Для финансового потока R = (-90, 10, 20, 30, 30, 40, 50), t = (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6) определите NPV , (i = 10%).

8.4. Фирме предоставляется возможность инвестировать 1000$ за доход в 500, 1000 и 200$ в конце первого, второго и третьего года соответственно в рамках проекта, срок которого три года. Фирма может кредитовать и заимствовать под 5 % годовых. Выгоден ли такой проект фирме с точки зрения NPV, если i = 10%? Ответ: NPV = 556$.

8.5. Вычислите индекс рентабельности двух ИП А и Б, каждый из которых требует единовременных затрат в размере 500 д.е. и 800 д.е. соответственно. Доходы ожидаются в конце года для проекта А в размере 715 д.е., для проекта Б – 1100 д.е. Ставка дисконта 10%. Ответ: R_A = 1,3; R_B = 1,25.

8.6. Найдите NPV_A и NPV_B для инвестиционных проектов из предыдущей задачи.

8.7. Для основного примера вычислить i_B., если i = 10%

Ответ: A: f(0,31) ? 0, f(0,33) ? 0, i_B = 31,2 %;

Б: f(0,16) ? 0, f(0,18) ? 0, i_B = 17,1 %.

Портфель минимального риска при заданной эффективности в финансовой математике

Дан портфель из трех ценных бумаг с доходностями µ₁= (10+а)%; µ₂= (15+а)%;

µ₃= (21+а)% и ковариационной матрицей

1+а) -1 0

-1 (9+а) -2

0 -2 (4+а)

Найти портфель минимального риска с доходностью µ = 25% и его риск. Написать уравнение минимальной границы.

Литература.

1. Боди З., Мертон Р. Финансы. Пер. с англ. М. :Издательский дом “Вильямс”, 2008.

2. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. Т1,2 М.: ФАЗИС, 1998.

3. Четыркин Е.М. Финансовая математика. М.: Дело, 2001.

4. Малыхин В.И. Финансовая математика. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2000.

5. Винстон У.Л. MicrosoftExcel: анализ данных и построение бизнес моделей. Пер. с анг. М.: Издательско - торговый дом “Русская редакция”, 2005.

6. Ковалев В.В. Финансовый менеджмент: теория и практика.3-е изд. М.:ТК Велби Проспект, 2010

Условия задач на эффективность инвестиций

1) Имеются два инвестиционных проекта, в котором потоки платежей (поступление с учетом капиталовложений) на конец года характеризуются следующими данными:

Сравнить проекты по величине чистого приведенного дохода, если норматив доходности (ставка сравнения) принята на уровне 10%. Определить сроки окупаемости.

2) Проект предлагается реализовать за три года. Планируются следующие размеры и сроки инвестиций: в начале 1^го года единовременные 5 млн. руб., во 2^м году только равномерные расходы – 10 млн. руб., в конце 3^го года единовременные затраты – 3 млн. руб. Отдачу планируют получать 15 лет: в первые 3 года по 2 млн. руб., далее в течение 10 лет ежегодно по 6 млн. руб., в оставшиеся 3 года по 3 млн. руб.

Доходы поступают равномерно в пределах годовых интервалов. Ставка проведения - 5%. Окупятся ли капиталовложения?

3) Определить значение процентной ставки для проекта, рассчитанного на 3 года, требующего инвестиции в размере 30 млн. руб. и имеющего предполагаемые денежные поступления в размере 4, 10, 15 млн. руб.

4) Определить индекс доходности (рентабельности) по данным задач 1 и 2.

5) Инвестор вкладывает капитал в проект рассчитанный на 4 года при уровне налогообложения и инфляции на уровне 10% в год, рассчитывая на следующие ежегодные денежные потоки: выручка 2500 тыс. руб.; текущие затраты 1500 тыс. руб., амортизация 700 тыс. руб. Определить чистые денежные потоки для инвестора.

• Другие тесты
• Тест Статистика
• Тест Политология
• Тест Логика
• Тест История экономических учений
• Тест Деньги кредит банки

Другие похожие работы

• Методики и организация судебной строительно-технической экспертизы (тест)
• Организация и проведение натурных обследований объектов недвижимости в стоимостной и строительно-технической экспертизе
• Курсовая работа судебная автотехническая экспертиза
• Исследование обстоятельств дорожно транспортного происшествия (СД01)
• Исследование следов на транспортных средствах и месте дорожно-транспортного происшествия (транспортно-трасологическая экспертиза) (СД03)