|
|
Примеры: | контрольные | курсовые | дипломные | отзывы |
|
Сложный процент в оценке стоимостиСложная процентная ставка в финансовой математикеПредприниматель получил в банке кредит на 5 лет по процентной ставке 18% , при этом банком были удержаны комиссионный в размере 1,1 % от величины кредита, Найдите доходность такой финансовой операции для банка в виде эффективной процентной ставки, если банк начисляет ежегодно сложные проценты на исходную сумму кредита. Как изменится доходность при выдаче кредита на 3 года и на 8 лет? Сложная учетная ставка в финансовой математикеВ учетных операциях наряду с использованием простых и сложных процентных ставок используются также сложные годовые учетные ставки. Для дисконтирования по сложной учетной ставке используется
формула где t – срок, оставшийся до наступления платежа по долговому обязательству. В этом случае дисконт по сложной учетной ставке определяется по формуле:
Задача № 8. Владелец векселя номиналом в 200 тыс.руб. с периодом обращения 1,5 года предложил его банку для учета. Банк произвел учет векселя по сложной учетной ставке (по ставке простых процентов), равной 12% годовых. Определить дисконт, полученный банком и сумму, полученную владельцем векселя. Решение. Для ставки сложных процентов имеем:
Для ставки простых процентов:
Ответ: для ставки сложных процентов – дисконт равен 34,898 тыс.руб., сумма полученная владельцем равна 165,102 тыс.руб. Для ставки простых процентов получили 36 тыс.руб. и 164 тыс.руб. соответственно. Таким образом, дисконтирование по сложной учетной ставке для владельца векселя выгоднее, чем по простой учетной ставке. Сложные проценты - основные формулыСложные проценты применяются в долгосрочных
питализацией процентов. Формула наращения по сложным процентам Пусть первоначальная сумма долга равна P, тогда через один год сумма долга с присоединенными процентами составитP(1+i), через 2 годаP(1+i)(1+i)=P(1+i)2, черезn лет -P(1+i)n. Таким образом, получаем формулу наращения для сложных процентов
где S - наращенная сумма,i - годовая ставка сложных процентов,n - срок ссуды,(1+i)n - множитель наращения. В практических расчетах в основном применяют дискретные проценты, т.е. проценты, начисляемые за одинаковые интервалы времени (год, полугодие, квартал и т.д.). Наращение по сложным процентам представляет собой рост по закону геометрической прогрессии, первый член которой равен P, а знаменатель(1+i). Отметим, что при сроке n<1 наращение по простым процентам дает больший результат, чем по сложным, а приn>1 - наоборот. В этом нетрудно убедиться на конкретных числовых примерах. Наибольшее превышение суммы, наращенной по простым процентам, над суммой, наращенной по сложным процентам, (при одинаковых процентных ставках) достигается в средней части периода. Формула наращения по сложным процентам, когда ставка меняется во времени В том случае, когда ставка сложных процентов меняется во времени, формула наращения имеет следующий вид
где i1, i2,..., ik - последовательные значения ставок процентов, действующих в периоды n1, n2,..., nk соответственно. Пример 6. В договоре зафиксирована переменная ставка сложных процентов, определяемая как 20% годовых плюс маржа 10% в первые два года, 8% в третий год, 5% в четвертый год. Определить величину множителя наращения за 4 года. Решение. (1+0,3)2(1+0,28)(1+0,25)=2,704 17  НАЧИСЛЕНИЕ СЛОЖНЫХ ПРОЦЕНТОВ Формула удвоения суммы В целях оценки своих перспектив кредитор или должник может задаться вопросом: через сколько лет сумма ссуды возрастет в N раз при данной процентной ставке. Обычно это требуется при прогнозировании своих инвестиционных возможностей в будущем. Ответ получим, приравняв множитель наращения величинеN: а) для простых процентов
б) для сложных процентов (1+iсложн.)n = N, откуда
Особенно часто используется N=2. Тогда формулы (21) и (22) называются формулами удвоения и принимают следующий вид: а) для простых процентов
б) для сложных процентов
Если формулу (23) легко применять для прикидочных расчетов, то формула (24) требует применения калькулятора. Однако при небольших ставках процентов (скажем, менее 10%) вместо нее можно использовать более простую приближенную. Ее легко получить, если учесть, что ln 2 0,7, а ln(1+i) i. Тогда
Пример 7. Рассчитать, за сколько лет долг увеличится вдвое при ставке простых и сложных процентов равной 10%. Для ставки сложных процентов расчеты выполнить по точной и приближенной формуле. Результаты сравнить.
18  НАЧИСЛЕНИЕ СЛОЖНЫХ ПРОЦЕНТОВ б) При сложных процентах и точной формуле:
в) При сложных процентах и приближенной формуле: n ? 0,7/i = 0,7/0,1 =7 лет. Выводы: 1)Одинаковое значение ставок простых и сложных процентов приводит к совершенно различным результатам. 2)При малых значениях ставки сложных процентов точная и приближенная формулы дают практически одинаковые результаты. Начисление годовых процентов при дробном числе лет При дробном числе лет проценты начисляются разными способами: 1) По формуле сложных процентов
Номинальная и эффективная ставки процентов Номинальная ставка. Пусть годовая ставка сложных процентов равнаj, а число периодов начисления в годуm. Тогда каждый раз проценты начисляют по ставке j/m. Ставкаj называется номинальной. Начисление процентов по номинальной ставке производится по формуле:
где N - число периодов начисления. Если срок ссуды измеряется дробным числом периодов начисления, то при m разовом начислении процентов в году наращенную сумму можно рассчитывать несколькими способами, приводящими к различным результатам: 1) По формуле сложных процентов
где N/? - число (возможно дробное) периодов начисления процентов,? - период начисления процентов, 19  НАЧИСЛЕНИЕ СЛОЖНЫХ ПРОЦЕНТОВ 2) По смешанной формуле
где a - целое число периодов начисления (т.е.a=[N/?] - целая часть от деления всего срока ссудыN на период начисления?), b- оставшаяся дробная часть периода
начисления Пример 8. Размер ссуды 20 млн. руб. Предоставлена на 28 месяцев. Номинальная ставка равна 60% годовых. Начисление процентов ежеквартальное. Вычислить наращенную сумму в трех ситуациях: 1) когда на дробную часть начисляются сложные проценты, 2) когда на дробную часть начисляются простые проценты 3) когда дробная часть игнорируется. Результаты сравнить. Решение. 28 Начисление процентов ежеквартальное. Всего имеется 3 = 913 кварталов.
3) S=20(1+0,6/4)9= 70,358 млн. руб. Из сопоставления наращенных сумм видим, что наибольшего значения она достигает во втором случае, т.е. при начислении на дробную часть простых процентов. Эффективная ставка показывает,
какая годовая ставка сложных процентов дает тот же финансовый результат, что
иm Если проценты капитализируются m раз в год, каждый раз со ставкойj/m, то, по определению, можно записать равенство для соответствующих множителей наращения:
где iэ - эффективная ставка, аj - номинальная. Отсюда получаем, что связь между эффективной и номинальной ставками выражается соотношением
Пример 9. Вычислить эффективную ставку процента, если банк начисляет проценты ежеквартально, исходя из номинальной ставки 10% годовых. 20  НАЧИСЛЕНИЕ СЛОЖНЫХ ПРОЦЕНТОВ Решение Пример 10. Определить какой должна быть номинальная ставка при ежеквартальном начислении процентов, чтобы обеспечить эффективную ставку 12% годовых. Решение. Учет (дисконтирование) по сложной ставке процентов Здесь, также как и в случае простых процентов, будут рассмотрены два вида учета - математический и банковский. Математический учет. В этом случае решается задача обратная наращению по сложным процентам. Запишем исходную формулу для наращения S=P(1+i)n и решим ее относительно P P = S(1+1i)n = Svn , где vn =(1+1i)n =(1+i)?n учетный или дисконтный множитель. Если проценты начисляются m раз в году, то получим
(35) (36) (37) (38) дисконтный множитель. Величину P, полученную дисконтированиемS, называютсовременной илитеку- щей стоимостью или приведенной величинойS. Суммы P и S эквивалентны в том смысле, что платеж в сумме S через n лет равноценен сумме P, выплачиваемой в настоящий момент. Разность Банковский учет. В этом случае предполагается использование сложной учетной ставки. Дисконтирование по сложной учетной ставке осуществляется по формуле где dсл - сложная годовая учетная ставка. Дисконт в этом случае равен 21  НАЧИСЛЕНИЕ СЛОЖНЫХ ПРОЦЕНТОВ При использовании сложной учетной ставки процесс дисконтирования происходит с прогрессирующим замедлением, так как учетная ставка каждый раз применяется к сумме, уменьшенной за предыдущий период на величину дисконта. Номинальная и эффективная учетные ставки процентов Номинальная учетная ставка. В тех случаях, когда дисконтирование применяютm раз в году, используютноминальную учетную ставку f. Тогда в каждом периоде, равном1/m части года, дисконтирование осуществляется по сложной учетной ставкеf/m. Процесс дисконтирования по этой сложной учетнойm раз в году описывается формулой
где N - общее число периодов дисконтирования (N=mn). Дисконтирование не один, а m раз в году быстрее снижает величину дисконта. Эффективная учетная ставка. Под эффективной учетной ставкой понимают сложную годовую учетную ставку, эквивалентную (по финансовым результатам) номинальной, применяемой при заданном числе дисконтирований в годуm. В соответствии с определением эффективной учетной ставки найдем ее связь с номинальной из равенства дисконтных множителей
Отметим, что эффективная учетная ставка всегда меньше номинальной. Наращение по сложной учетной ставке.
Наращение является обратной задачей для учетных ставок. Формулы наращения
по сложным учетным ставкам можно получить, разрешая соответствующие формулы для
дисконтирования (39 и 41) относительноS. Получаем
из
Пример 11. Какую сумму следует проставить в векселе, если реально выданная сумма равна 20 млн. руб., срок погашения 2 года. Вексель рассчитывается, исходя из сложной годовой учетной ставки 10%. Решение. S = (1?200,1)2 = 24,691358 млн. руб. 22 Сложные проценты в финансовой математикеВ отличие от простых процентов, база для начисления сложных процентов будет увеличиваться с каждым периодом начисления. Если положить в банк сумму P и банк выплачивает сложные проценты по годовой ставкеi, то через год сумма будет равна S1 = P + I = P + iP = P (1+ i), где I = iP – процент, начисленный за первый год. В конце второго года вкладчик получит сумму: S2 = P+Pi+(P+Pi) i = P (1+ i)2. Присоединение начисленных процентов к их базовой сумме называется капитализацией процентов. Несложно понять, что через n лет вкладчик получит сумму Sn = P ( 1+ i )n. ( 8) Формула (8) называется формулой сложных процентов. В общем случае в формуле (8) n - число периодов начисления (n может быть и нецелым), i - ставка за период. Величина (1 + i)n называется коэффициентом наращения. Пример. Депозит в размере 500 тыс. руб. положен в банк на 3 года. Определите сумму начисленных процентов по простой и сложной ставках, если годовая ставка составляет 80 %. Решение. По простой ставке I = P ·n ·i = 500 ·3 · 0,8 = 1200 тыс. руб. По сложной ставке I = P[( 1+ i )n - 1] = 500 [(1+ 0,8)3 - 1] = 2416 тыс. руб. Пример. Сберегательный банк начисляет ежегодно 8 % сложных. Клиент положил в банк 20 000 руб. Какая сумма будет на счету клиента через 6 лет и три месяца? Решение. По формуле (8), где n = 6,25,P = 20 000, находим: S = 20 000(1+0,08)6,25 = 32 354,04 руб. При дробном числе лет можно применять смешанный метод, который предполагает начисление процентов за целое число лет по формуле сложных процентов и по формуле простых процентов за дробную часть периода, т. е. Sn = P ( 1+ i )a ( 1+ i· b), ( 9 ) где a - целое число периодов (лет), b - дробная часть периода (года). В качестве иллюстрации этой формулы используем предыдущий пример. Имеем: S = 20 000 (1+ 0,08)6 (1 + 0,25 ·0,08) = 32 372,24 руб. Сложные проценты и их сущность
Сложные проценты.Основной суммой называют величину инвестированного под проценты капитала. Пусть срок инвестирования задан в периодах, один период – один год. Пусть также дана процентная ставка за период, например, годовая процентная ставка. Если проценты в конце каждого периода (года) инвестиционного срока прибавляются к основной сумме, и полученная сумма является исходной для начисления процентов в следующем периоде (году), то начисленные к концу срока проценты называются сложными. Наращенной суммой по ставке сложных процентов называют величину основной суммы капитала плюс сложные проценты. В общем случае справедлива формула сложных процентов: где S – наращенная по сложным процентам сумма, P – основной капитал. I – процентная ставка за период, t – срок в периодах. Задача № 6. Сумма в размере $127 инвестирована под 125% годовых на 2 года. Вычислите сложные проценты, начисленные к концу срока. Решение. По формуле сложных процентов
наращенная сумма Сложные проценты: I=S-P = 642,94 - 127 = $515,94. Ответ : сложные проценты составляют $ 515,94. Составной итог и настоящая (текущая) стоимость для дробных периодов времени
накапливает проценты в течение 15 лет и 3 месяца при норме j = 6% . РЕШЕНИЕ Первый шаг - это замена нормыj2 = 6% на конвертируемую поквартально, так как заданное время 15 лет и 3 месяца состоит из 61 квартала. Пустьi будет норма процента за квартал, эквивалентнаяj2 = 6% . Тогда (1 + i)4 = ( 1,03 )2 или 1 +i = ( 1,03 )1/2 23 Накопление процентов в течение 61 квартала при норме i S = 10000 ? (1 +i)61 Подставляя значение (1 + i) в это выражение, получаем S = 10000 ? ( 1,03 )61/2 = 24634 рб При получении этого результата можно было бы использовать таблицы множителей накопления, используя i = 0,03 иn = 30,5 по схеме рассмотренной ранее. Рассмотренный пример дает естественную основу для следующего правила: точный (илидисконтированный)метод накопления или
рб за 7 лет и 3 месяца до ее накопления с нормой процента j1 = 5%. РЕШЕНИЕ Мы имеемS = 50000 ,i = 0,05 ,n = 7,25 . Отсюда P = 50000 ? ( 1,05 )- 7,25 = 35103,27 . Когда под рукой нет вычислительных средств, но есть таблицы множителей накопления ( дисконтирования ), можно в случае дробных продолжительностей использовать следующую аппроксимацию : для целой части периода конверсии найти составной итог накопления ( или текущую стоимость при дисконтировании ), а для дробной части использовать простую итоговую сумму ( или простое дисконтирование ), Так, в рассмотренном примере для 7 лет имеем 50000 ? ( 1,05 ) затем осуществляем простое дисконтирование за 0,25 года P = 35534,06 ? (1 - ( 0,05 )( 0,25 )) = 35089,88 . 24 Как видим, в этом примере абсолютная точность определения текущей стоимости равна 35103,27 - 35089,88 = 13,39 что дает относительную точность 0,00038 или 0,038% . Когда используется простой процент или простой дисконт при определении итоговой суммы или текущей стоимости для дробных
S = P(1 +it)(1 +i)п . Рассуждая аналогично для определения настоящей стоимости можно получить формулу P = S(1 -it)(1 +i) Использование практического метода поясним на примере. Пусть необходимо определить итоговую сумму накопления для основной суммы 10000 рб при норме процента i = 10% за 4 года и 10 месяцев. Практический метод предлагает сначала найти промежуточный итог за 10 месяцев, используя технику простого процента, что дает 10000 ? (1 + ( 0,1 )(10/12)) = 10833,33 , 25 Составной итог и сложные проценты в финансовой математикеКогда процент периодически добавляется к основной сумме и эта новая
начисления процентов или периодом конверсиии может быть установлен любой удобной временной продолжительности. В качестве периода конверсии обычно берется целый делитель года, такой как месяц, квартал, 6 месяцев или год. Норма процента обычно рассчитывается на годовой основе и при начислении процентов должна изменяться до нормы процента на период инверсии. ПРИМЕР Найти составной итог в конце 1 года при основной сумме 50000 рб, если при начислении используется норма процента 7%, конвертируемая поквартально. РЕШЕНИЕ Слова 7%, конвертируемые (или составляемые) поквартально, означают 1,75% за квартал ( 3 месяца ). Таким образом, в конце первого квартала 1,75% от 50000 рб добавляются к основной
периодов становится больше. Поэтому имеет смысл сформулировать более быстрые способы получения итоговой суммы, одинаково удобные для произвольного числа периодов конверсии. Сравнение простых и сложных процентов в финансовой математикеСравним коэффициенты наращения по простым и сложным процентам при одинаковой годовой ставке i. Пусть срок ссуды Т измеряется в годах. Тогда коэффициенты наращения по простым процентам Anp и по сложным процентам Аcл равны соответственно: Anp=1+i T; Acл=(1+i)T. В качестве иллюстрации приведем значения этих коэффициентов в зависимости от срока ссуды Т при i=40%.
Очевидно, что при T = 0 и при T = 1 коэффициенты наращения совпадают и равны 1 и 1+i соответственно. Можно показать, что при любом значении процентной ставки i справедливы утверждения: (1) Anp>Acл, если 0<T<1; (2) Anp<Acл, если Т >1. Отсюда следует, что (при фиксированном значении i) сложные проценты выгоднее при больших сроках ссуды (T> 1), а простые проценты выгоднее при краткосрочных операциях (0<T<1). Различия в последствиях применения простых и сложных процентов наиболее наглядно проявляются при определении времени, необходимого для увеличения первоначальной суммы в N раз. Например, определим срок удвоения первоначальной суммы (N = 2). Полагая соответствующие коэффициенты наращения равными двум, получаем для простых процентов: 1+i T = 2, Т = 1/i, и для сложных процентов: (1+i)T=2, T= ln2/ln (1+i). Список литературы и источников на тему "Сложный процент в оценке стоимости"
Другие похожие работы |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
© 2002 - 2026 RefMag.ru |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
- сложная годовая учетная ставка,
=165,102,
.|
|