Потоки платежей в оценке стоимости

Расчет величины стоимости в постпрогнозный (остаточный) период при оценке бизнеса предприятия

•По модели Гордона годовой доход послепрогнозного периода капитализируется в показатели стоимости при помощи коэффициента капитализации, рассчитанного как разница между ставкой дисконта и долгосрочными темпами роста. При отсутствии темпов роста коэффициент капитализации будет равен ставке дисконта.

•Модель Гордона основана на прогнозе получения стабильных доходов в остаточный период и предполагает, что величины износа и капиталовложений равны.

Расчет величины стоимости в постпрогнозный период в доходном подходе в оценке бизнеса

В зависимости от перспектив развития бизнеса в постпрогнозный период используют тот или иной способ расчета ставки дисконта:

• метод расчета по ликвидационной стоимости. Применяется в том случае, если в послепрогнозный период ожидается банкротство предприятия с после­дующей продажей имеющихся активов;

• метод расчета по стоимости чистых активов. Техника расчета аналогична расчетам ликвидационной стоимости, но не учитывает затрат на ликвидацию. Используется для стабильного бизнеса;

• метод предполагаемой продажи, состоящий в пересчете денежного потока в показатели стоимости с помощью специальных коэффициентов, полученных из анализа ретроспективных данных по продажам сопоставимых компаний;

• метод Гордона. По этому методу годовой доход постпрогнозного периода капитализируется в показатели стоимости при помощи коэффициента капитализации.

Составим бизнес-план предприятия. Темп роста выручки от реализации затрат на производство определим по данным за 2005 год:

Тр = 32881/30576 =1,08

Для расчета таблицы находим темп роста выручки от реализации, затрат на производство и используем эти данные при построении денежного потока.

Таблица 31

Расчет денежного потока

№ п/п	Наименование статьи	Отчет­ный пе­риод	Прогнозный период			Пост прогнозный период
		2005	2006	2007	2008	2009
1	Выручка от реали­зации, тыс. р.	32881	33867,43	34883,45	35929,95	37007,85
2	Затраты на производство, тыс.	32615	33593,45	34601,25	35639,29	36708,47
3	Валовая прибыль (п.1-п.2), тыс. р.	266	273,98	282,2	290,66	299,38
4	Налогооблагаемая прибыль, тыс. р.	599	616,97	635,5	654,56	674,2
5	Налог на прибыль (20 % отп.4)	119,8	123,39	127,1	130,91	134,84
6	Чистая прибыль (п.4-п. 5)	479,2	493,58	508,4	523,65	539,36
7	Денежный поток, тыс. р.	479,2	493,58	508,4	523,65	539,36

По формуле Гордона рассчитаем стоимость предприятия в постпрогнозный год (Vпост).

где П_д - денежный поток в постпрогнозный период; д — долгосрочные темпы роста денежного потока; i - ставка дисконта.

V _пост = 539,36 * (1+0,03)/ (0,17 - 0,03) = 3 946,077 тыс. руб.

Таблица 32

Расчет текущей стоимости денежного потока

Год	Денежный поток, тыс. руб.	Коэффициент дисконтирования	Текущая стои­мость денежного потока
2005	479,2	0,87	416,91
2006	493,58	0,758	374,13
2007	508,4	0,658	334,53
2008	523,65	0,572	299,53

Сумма текущих стоимостей денежного потока =

416,91+374,13+334,53+299,53 = 1425,1

Выручка от продажи предприятия в конце последнего года =

539,36/ (0,17 -0,03) = 3852,57 тыс. р.

Текущая стоимость выручки от реализации =

3852,57 * 0,572 =2203,67тыс. р.

Рыночная стоимость фирмы =

3852,57 +2203,67= 6056,24 тыс. р.

Согласование полученных результатов

Таблица 33

Согласование результатов оценки

Показатель	Веса
	Доходный подход	Затратный подход	Сравнительный подход
Достоверность информации	0,1	0,6	0,3
Учет факторов, влияющих на развитие предприятия	0,6	0,2	0,2
Цена предприятия	0,4	0,2	0,4
Показатель, отражающий ситуа­цию на рынке	0,3	0,2	0,5
Итого	1,4	1,2	1,4
Веса	0,4	0,2	0,4

Используя полученные веса, рассчитаем стоимость бизнеса.

Таблица 34

Расчет стоимости бизнеса

Подход	Стоимость, руб.	Вес	Итого
Доходный	4317000	0,4	1726800
Затратный	5172300	0,4	2068920
Сравнительный	5272244	0,2	1054448,8
Итого стоимость бизнеса, тыс. руб.		4 850 168,8

Рыночная стоимость фирмы составляет 4 850 168,8 руб. (без НДС).

• изложенные в данной главе факты, правильны и соответствуют действительности;

• сделанный анализ, высказанные мнения и полученные выводы соответствуют действительности исключительно в пределах оговоренных в данном отчете допущений и ограничивающих условий и являются нашими персональными, непредвзятыми профессиональным анализом, мнениями и выводами;

• мы не имеем ни в настоящем, ни в будущем какого-либо интереса в объекте собственности, являющемся предметом данного отчета: мы также не имеем личной заинтересованности и предубеждения в отношении вовлеченных сторон;

• задание на оценку не обосновывалось на требовании определения минимальной или оговоренной цены;

• наш анализ, мнения и выводы были получены, а этот отчет составлен в полном соответствии с Едиными стандартами профессиональной практики оценки;

• расчетная стоимость признается действительной на дату оценки.

Расчет величины стоимости в постпрогнозный период при оценке стоимости бизнеса в методе дисконтированных денежных потоков

Основа – положение: Бизнес способен приносить доход и по окончании прогнозного периода. После окончания прогнозного периода доходы бизнеса стабилизируются и в остаточный период будут иметь место стабильные долгосрочные темпы роста или бесконечные равномерные доходы.

В зависимости от перспектив развития бизнеса в постпрогнозный период выбирают метод или модель расчета ставки дисконтирования:

- метод ликвидационной стоимости;

- метод чистых активов;

- метод предполагаемой продажи;

- модель Гордона.

V(term) = CF(t+1) / (Rd – g)

V(term) – стоимость в постпрогнозный период (на момент окончания периода);

CF(t+1) – денежный поток доходов за первый год постпрогнозного периода (cash flow);

Rd – ставка дисконтирования;

g - долгосрочные темпы роста денежного потока.

Полученную стоимость приводят к текущим стоимостным показателям по ставке дисконтирования, используемой для дисконтирования денежных потоков прогнозного периода.

Расчет величины стоимости предприятия (бизнеса) на конец прогнозного периода (реверсии) методом Модели Гордона

Чтобы учесть доходы, которые может принести бизнес за пределами периода прогнозирования определяется стоимость реверсии.

Реверсия – это:

• Доход от возможной перепродажи имущества (предприятия) в конце периода прогнозирования;

• Стоимость имущества (предприятия) на конец прогнозного периода.

Основным способом определения стоимости предприятия на конец прогнозного периода является применение модели Гордона.

Модель Гордона – это определение стоимости бизнеса капитализацией дохода первого постпрогнозного года по ставке капитализации, учитывающей долгосрочные темпы роста денежного потока. Модель Гордона служит способом предварительной или приближенной оценки стоимости предприятия.

Таблица 2.5.

Расчет текущей стоимости денежных потоков и реверсии

Показатель	1-й год	2-й год	3-й год	постпрогнозный период
денежный поток, тыс.руб.	CF 1	CF 2	CF 3	CF 4
стоимость на конец прогнозного периода, рассчитанная по модели Гордона, тыс.руб	-	-	-	FV= CF 4 / (DR-t)
коэффициент текущей стоимости	DF1=1/(1 +DR)1	DF2=1/(1 +DR)2	DF3=1/(1 +DR)3	DF3
текущая стоимость денежных потоков и реверсии тыс.руб.	PV 1 = CF 1 · DF1	PV 2 = CF 2 · DF2	PV 3 = CF 3 · DF3	PV 4 = FV · DF3
стоимость предприятия, тыс.руб.	V= PV 1 + PV 2 + PV 3 + PV 4

Таблица 2.6.

Расчет текущей стоимости денежных потоков и реверсии

Показатель	1-й год	2-й год	3-й год	постпрогнозный период
денежный поток, тыс.руб.	11914,1	14225,4	16985,1	20280,2
стоимость на конец прогнозного периода, рассчитанная по модели Гордона, тыс.руб	-	-	-	115886,9
коэффициент текущей стоимости	0,84	0,7	0,59	0,59
текущая стоимость денежных потоков и реверсии тыс.руб.	10007,8	9957,8	10021,2	68373,3
стоимость предприятия, тыс.руб.	98360

Таким образом, рыночная стоимость предприятия ООО «Бетон Плюс», рассчитанная методом дисконтирования денежных потоков, в 2010 году составила 98360 тыс.руб

Расчет стоимости реверсии для оценки недвижимости

Реверсия – это стоимость будущей продажи объекта недвижимости в конце прогнозного периода.

Если рассмотреть денежные потоки инвестора по объекту недвижимости, то вначале инвестор осуществляет инвестиции в объект, потом получает доходы от объекта и в конце владения продает объект, т.е. получает реверсию первоначально вложенных инвестиций.

Оценщику при расчете реверсии необходимо определить стоимость объекта недвижимости в конце прогнозного периода.

Стоимость реверсии можно рассчитать с помощью:

1) сравнительного подхода, в данном случае оценщик определяет цену будущей продажи, исходя из анализа текущего состояния рынка, из мониторинга стоимости аналогичных объектов и предположений относительно будущего состояния объекта и будущего состояния рынка недвижимости;

2) доходного подхода, в данном случае оценщик, исходя из предположения о выходе объекта недвижимости на постоянные стабильные денежные потоки к окончанию прогнозного периода, использует метод капитализации дохода за год, следующий за годом окончания прогнозного периода, с использованием самостоятельно рассчитанной ставки капитализации;

3) затратного подхода, в данном случае оценщик рассчитывает стоимость последующей продажи, как сумму прогнозной величины рыночной стоимости земельного участка и стоимости воспроизводства (или замещения) оцениваемого объекта на момент окончания прогнозного периода;

4) допущения относительно изменения стоимости объекта недвижимости в течение прогнозного периода.

Потоки платежей в финансовой математике

Проведение практически любой финансовой операции порождает движение денежных средств. Такое движение может характеризоваться возникновением отдельных платежей, или множеством выплат и поступлений, распределенных во времени.

В финансовой практике зачастую контракты предусматривают не отдельные разовые платежи, а серию платежей, распределенных во времени (регулярные выплаты). Например, погашение долгосрочного кредита, вместе с начисленными на него процентами; периодические взносы на расчетный счет, на котором формируется некоторый фонд различного назначения (инвестиционный, пенсионный, страховой, резервный, накопительный и т.д.); дивиденды, выплачиваемые по ценным бумагам; выплаты пенсий из пенсионного фонда и пр.

Поток платежей (cash flow – ) представляет собой ряд последовательных во времени выплат и поступлений,, …,.

Потоки платежей являются неотъемлемой частью всевозможных финансовых операций: с ценными бумагами, в управлении финансами предприятий, при осуществлении инвестиционных проектов, в кредитных операциях, при оценке бизнеса, при оценке недвижимости, выборе альтернативных вариантов финансовых операций и т.п.

Члены потока могут быть как положительными величинами (поступления), так и отрицательными величинами (выплатами), а временные интервалы между членами такого потока могут быть равными и неравными.

Поток платежей, все члены которого имеют одинаковое направление (знак), а временные интервалы между последовательными платежами постоянны, называется финансовой рентой или аннуитетом.

При рассмотрении финансовой ренты используются основные категории:

? член ренты () – величина каждого отдельного платежа;

? период ренты () – временной интервал между членами ренты;

? срок ренты () – время от начала финансовой ренты до конца последнего ее периода;

? процентная ставка () – ставка, используемая при наращении платежей, из которых состоит рента;

? наращенная сумма () – сумма долга на какой-либо момент в будущем;

? современная стоимость () – современная величина потока платежей.

При определении члена ренты возможны два варианта, зависящие от того, какая величина является исходной:

а) наращенная сумма. Если сумма долга определена на какой-либо момент в будущем, тогда величину последующих взносов в течение k лет при начислении на них процентов по ставке n можно определить по формуле:

, (1)

б) известна современная величина финансовой ренты, тогда, исходя из ставки процента и срока ренты, разовый платеж находится по формуле:

. (2)

Как известно, погашение займа осуществляется за счет платежей, состоящих из части основного долга (суммы кредита) и процентов. Но рассчитываться размер этих платежей может по-разному.

В финансовой практике наиболее часто встречаются так называемые простые или обыкновенные аннуитеты (ordinary annuity, regular annuity), которые предполагают получение или выплаты одинаковых по величине сумм на протяжении всего срока операции в конце каждого периода (года, полугодия, квартала, месяца и т.д.).

Простой аннуитет обладает двумя важными свойствами:

? все его элементы равны между собой;

? отрезки между выплатой/поступлением сумм одинаковы.

Если рассматривать кредитные отношения, то за аннуитетный платеж будем считать равный по сумме ежемесячный платеж по кредиту, который включает в себя сумму начисленных процентов за кредит и сумму основного долга.

Расчёт аннуитетного платежа можно производить по формуле (2), в этом случае вводится обозначение:

–размер ежемесячного аннуитетного платежа по кредиту;

–сумма кредита;

–процентная ставка в долях за период (месяц);

–количество месяцев, на которые берётся кредит.

Другим не менее распространенным способом погашения ссуды сегодня являются дифференцированные платежи, размер которых каждый месяц будет разным и постепенно уменьшающимся. Основной долг при этом делится на количество месяцев действия кредита и уплачивается равными долями. Проценты начисляются на остаток задолженности, за счет чего их сумма всегда уменьшается.

Таким образом, основное отличие между аннуитетом и дифференцированными взносами заключается в том, изменяется ли сумма ежемесячного платежа по кредиту или остается постоянной на протяжении всего срока займа.

В случае дифференцированных платежей величина погашения долга определяется следующим образом:

, (3)

где – величина погашения основной суммы долга;

–первоначальная сумма кредита;

–количество периодов (месяцев), на которые берётся кредит;

Проценты начисляются на уменьшаемую сумму основного долга:

, (4)

где – величина погашения процентов по кредиту за-ый месяц;

–остаток ссудной задолженности (суммы обязательства) на начало -го месяца;

–процентная ставка в долях за период (месяц), равная 1/12 от годовой процентной ставки, установленной на сумму кредита;

.

Тогда величина дифференцированного платежа по кредиту по каждому месяцу определяется как сумма уплачиваемых процентов и сумма погашения основного долга:

, (5)

где – размер дифференцированного платежа по кредиту за-ый месяц,.

В финансовых операциях возможны ситуации, когда выплаты по кредиту производятся в сумме, большей установленного аннуитета. В таких случаях говорят о частичном досрочном погашении кредита. При этом кредитный договор с банком позволяет уменьшить либо размер ежемесячного аннуитетного платежа, либо срок кредитования.

Рассмотрим оба варианта развития событий в случае частичного досрочного погашения кредита.

1. Уменьшение размера ежемесячного аннуитетного платежа (без изменения срока кредитования).

Для определения новой суммы аннуитета достаточно подставить в формулу аннуитета новое значение суммы кредита (остаток после погашения) и срок, оставшийся до погашения кредита.

2. Уменьшение срока кредитования (без изменения размера ежемесячного аннуитетного платежа).

Новый срок кредитования (с момента частичного досрочного погашения кредита) можно определить по формуле:

, (6)

где – новый срок кредитования (с момента частичного досрочного погашения кредита);

–остаток ссудной задолженности (суммы кредита) после частичного досрочного погашения в -ый месяц;

–процентная ставка в долях за период (месяц), равная 1/12 от годовой процентной ставки, установленной на сумму кредита;

–размер ежемесячного аннуитетного платежа по кредиту.

Замечание. Значение всегда округляется в сторону увеличения, т.е. если, то принимаем.

Задание

На приобретение квартиры взят кредит на 3 года в размере 500 тыс. руб. под 12% годовых. Проценты по кредиту начисляются ежемесячно на остаток долга.

Необходимо:

1. Определить размер ежемесячного аннуитетного платежа по кредиту.

2. Составить в Microsoft Excel график аннуитетных платежей.

3. Определить общую сумму начисленных процентов.

4. Составить в Microsoft Excel график погашения кредита при условии, что основная сумма долга погашается равными частями, и сравнить суммы начисленных процентов при дифференцированных и аннуитетных платежах.

5. Составить в Microsoft Excel график аннуитетных платежей при условии частичного досрочного погашения кредита (без каких-либо ограничений по сумме и штрафов), если 26-ой платеж составляет 50 тыс.руб., а кредитный договор с банком позволяет уменьшить:

а) размер ежемесячного платежа;

б) срок кредитования.

6. Ответить на вопрос: «Как изменится общая сумма выплат в случае частичного досрочного погашения кредита?»

Решение.

1. Размер ежемесячного аннуитетного платежа по кредиту определим двумя способами.

1 способ. Используя формулу (2) для расчета ежемесячного аннуитетного платежа, получим

руб.

Таким образом, ежемесячно необходимо будет возвращать сумму 16 607,15 руб.

2 способ. Выполним расчеты с использованием Microsoft Excel.

Создадим новую книгу в Microsoft Excel и назовем ее «Потоки платежей». Введем в ячейки A1:B4 листа 1 книги «Потоки платежей» исходные данные, как на рис. 1.

Рис. 1. Ввод исходных данных задачи 1

Далее для вычисления размера ежемесячного аннуитетного платежа по кредиту выполним следующие действия:

а) в ячейку А6 ввести текст «CF»;

б) выделить ячейку В6 и выполнить команду «Вставка»/«Функция», в открывшемся окне Мастера функции выбрать категорию «Финансовые», функцию ПЛТ(). Данная функция возвращает сумму периодического платежа для аннуитета на основе постоянства сумм платежей и постоянства процентной ставки;

в) заполнить поля функции ПЛТ согласно рис. 2: в поле «Ставка» указывается процентная ставка в долях за месяц, равная 1/12 от годовой процентной ставки, установленной в ячейкеВ4, в поле «Кпер» – общее количество месяцев выплат по кредиту, равное произведению, в поле «Пс» – сумма кредита.

Рис. 2. Окно аргументов функции ПЛТ

Результат расчета величины отдельного аннуитетного платежа с использованием встроенной функции ПЛТ в Microsoft Excel представлен на рис. 3.

Рис. 3. Результат вычисления по функции ПЛТ

Полученное значение отрицательно, поскольку оно представляет собой величину ежемесячного платежа по кредиту. Абсолютное значение аннуитета, рассчитанного с помощью функции ПЛТ в Microsoft Excel, совпадает со значением, найденным по формуле (2).

2. В финансовых операциях зачастую требуется вычисление обобщающих характеристик по каждому платежу и последующему их суммированию.

В этом случае для расчета аннуитетного платежа по кредиту по каждому месяцу удобно использовать формулу (2), где – размер аннуитетного платежа по кредиту за -ый месяц;

–остаток ссудной задолженности (суммы обязательства) на начало -го месяца;

–процентная ставка в долях за период (месяц), равная 1/12 от годовой процентной ставки, установленной на сумму кредита;

–количество процентных периодов (месяцев), оставшихся до окончательного погашения ссудной задолженности (суммы обязательства).

С помощью Microsoft Excel составим график аннуитетных платежей (т.е. график погашения кредита) для рассматриваемой задачи.

Для этого на листе 1 книги «Потоки платежей» Microsoft Excel создадим таблицу как на рис. 4.

В ячейку С11 таблицы введем формулу (2) для определения размера аннуитетного платежа, в ячейку Е11 – формулу для определения размера платежа в погашение процентов, как произведение остатка по кредиту к моменту -го платежа на процентную ставку в долях за месяц, в ячейкуD11 – формулу для определения размера платежа в погашение долга, как разницу между величиной аннуитета и размером платежа в погашение процентов по кредиту (рис. 4). В ячейку F11 вводим формулу для определения остатка задолженности по кредиту после платежа, как разницу между остатком по кредиту к моменту -го платежа и размером-го платежа в погашение долга (рис. 4).

Потоки платежей и постоянные финансовые ренты в финансовой математике

Погашение задолженности в рассрочку, периодическое поступление доходов от инвестиций, выплата пенсий и т.д. – называют потоки платежей.

Потоки платежей могут быть регулярными и нерегулярными. В нерегулярном потоке платежей членами являются как положительные (поступления), так и отрицательные величины (выплаты), а соответствующие платежи могут производиться через разные интервалы времени.

Поток платежей, все члены которого положительные величины, а временные интервалы между платежами одинаковы, называют финансовой рентойили просторентой.

Рента характеризуется следующими параметрами: член ренты- размер отдельного платежа,период ренты– временной интервал между двумя последовательными платежами,срок ренты– время от начала первого периода ренты до конца последнего периода,процентная ставка.

По количеству выплат членов ренты на протяжении года, ренты делятся на годовые,P -срочные(P – количество выплат в году),непрерывные(много раз в году).

Обобщенные параметры потоков платежей

Анализ потока платежей предполагает расчет одной из двух обобщающих характеристик: наращенной суммы или современной стоимости.

Наращенная сумма–сумма всех членов потока платежей с начисленными на них к концу срока процентами.

Современная стоимость потока платежей– сумма всех его членов, дисконтированных на начало срока ренты или некоторый упреждающий момент времени.

Допустим, имеется ряд платежей , выплачиваемых спустя времяпосле некоторого начального момента времени, общий срок выплат n лет. Необходимо определить наращенную на конец срока сумму потока платежей, если проценты начисляются раз в году по сложной ставкеj, то:

, (15)

Как видим, наращенную сумму в заданных условиях получают методом прямого счета. Современную стоимость такого потока найдем прямым счетом – как сумму дисконтированных платежей. Обозначив эту величину, как A, получим:

, (16)

где - дисконтный множитель по ставкеj.

Между величинами A и S существует функциональная зависимость:

(17)

Очень важным является различие рент по моменту выплат платежей в пределах периода. Если платежи осуществляются в конце периодов, то такие ренты называют обыкновенными или постнумерандо,если же платежи производятся в начале периодов, то их называютпренумерандо.

Годовая рента

В течении n лет в банк в конце каждого года вносится по R руб. На взносы начисляются сложные проценты по ставке % годовых. Все члены ренты, кроме последнего, приносят проценты – на первый член ренты начисляются (n-1) раз, на второй (n-2) и т.д.

.

Если переписать этот ряд в обратном порядке, то получим геометрическую прогрессию со знаменателем (1+ j) и первым членомR.

, (18)

При начислении процентов m раз в году то:

; (19)

Если платежи осуществляются в начале периодов то

; (20)

При начислении процентов m раз в году то:

; (21)

Современная стоимость постоянной ренты постнумерандо

, (22)

Множитель, на который умножается R, называется коэффициентом приведения ренты и обозначается :

При , (23)

В этом случае: , (24)

При дисконтировании m раз в году:

, (25)

Определение срока ренты

P=1

m=1

p=1

m>1

P>1

m=1

m=p

m?p

При расчете срока ренты необходимо принять во внимание следующие моменты:

1. Расчетные значения срока будут дробные. Для годовой ренты в качестве n удобнее принять меньшее ближайшее число. У p-срочной ренты результат округляется до ближайшего целого числа периодов.

2. Если округление производится до меньшего целого числа, то наращенная сумма или современная стоимость ренты оказывается меньше заданной. Возникает необходимость в соответствующей компенсации. Например, если речь идет о погашении задолженности путем выплаты постоянной ренты, то компенсация может быть осуществлена соответствующими платежом в начале или конце срока или с повышением суммы члена ренты.

Эквивалентные серии платежей в финансовой математике

Одной из наиболее важных проблем в математике финансов является замена данной серии платежей или других обязательств на эквивалентную серию. Например, холодильник стоит 3 млн рб. наличными. Однако его можно купить при помощи эквивалентной серии небольших ежемесячных платежей.

Ранее мы рассматривали датированную сумму серии платежей или обязательств. При этом было видно, что сумма серии зависела от используемой нормы процента и даты, на которую вычислялась сумма. На основе правила эквивалентности для таких серий можно сформулировать следующее утверждение : при данной норме сложного процента две серии платежей являются эквивалентными, если датированные суммы этих серий на любую общую дату являются равными. Таким образом, если стоимость холодильника равна 3 млн рб , любая серия платежей, использованная при его покупке должна иметь стоимость на настоящий момент ( текущую стоимость ) 3 млн рб. Равенство, устанавливающее, что датированные суммы двух серий на общую дату равны, называется

уравнением эквивалентности или равенством стоимостей.Дата,

используемая в этом равенстве, называется датой сравнения. Из свойства 1 следует, что в качестве даты сравнения может быть использована любая дата.