Помощь в учебе - Методы финансовой математики и оценка стоимости - RefMag.ru

столбца больше, чем в случае линейного метода : один - годовой взнос в фонд и другой - процент, накопленный фондом в течении года. Эти два показателя добавляются для получения ежегодного обесценивания.

ПРИМЕР Найти ежегодные взносы в фонд обесценивания и составить расписание обесценивания для машины примера предыдущего параграфа, если используется метод погасительного фонда и фонд накапливает с нормой 4% ,m = 1 .

РЕШЕНИЕ Так как полное обесценивание равно 30 млн рб, погасительный фонд за 5 лет должен накопить эту сумму, так что

R s 5 4 % = 30 млн рб иR = 30 /s 5 4 % = 5,5388 млн рб

Расписание теперь выглядит следующим образом

------------------------------------------------------------------------------------

Год Взнос		Процент Ежегодное		Полное	Книжная
		фонда	обесценивание обесценивание цена
------------------------------------------------------------------------------------
0	0	0	0	0	33,0000
1	5,5388	0	5,5388	5,5388	27,4612
2	5,5388	0,2216	5,7604	11,2992	21,7008
3	5,5388	0,4520	5,9908	17,2900	15,7100
4	5,5388	0,6916	6,2304	23,5204	9,4796
5	5,5388	0,9408	6,4796	30,0000	3,0000

------------------------------------------------------------------------------------


Следует заметить, что			если	опустить		последний	столбец, расписание,
по существу,		совпадет		с	расписанием погасительного фонда.
Последний		столбец	«Книжная		цена» получается путем			вычитания
ежегодного обесценивания				из книжной цены в конце предыдущего года.
Таким	образом,		в любое		время	книжная	цена плюс	полное

обесценивание дает первоначальную инвестицию. Поэтому согласно отчетности первоначальная инвестиция остается нетронутой.

Метод погасительного фонда погашения долга в финансовой математике

Метод амортизации при погашении долга часто создает проблему для заимодавца денег. Его основная сумма возмещается ему малыми суммами через короткие интервалы. Так как не всегда удобно выгодно


инвестировать малые суммы, ему очень хотелось						бы		иметь
некоторые из возмещенных сумм незанятыми в течение							некоторого
времени до того, как они		смогут	быть	реинвестированы.			По	этой
причине заимодавцы	иногда требуют,			чтобы	вся	основная сумма
возмещалась целиком	в	конце	срока	ссуды.	Обычно проценты не

накапливаются, а выплачиваются в конце каждого периода начисления. Например, банк может ссудить 100 млн рб на 5 лет с нормой процентов 6% эффективно и требует, чтобы они были возмещены следующим образом % в конце каждого года должны быть выплачены 6 млн рб процентов, а в конце пятого года дополнительно к процентам, полагающимся к этому сроку, должна быть выплачена вся основная сумма 100 млн рб.

Когда деньги занимаются только что описанным способом, заемщик обычно готовится к окончательной ликвидации долга, образовывая

погасительный	фонд.	Обычно	платежи погасительного фонда
делаются в те же самые дни, в какие выплачиваются				проценты за
занятую сумму	долга.	Когда делается	таким образом,	сумма этих

двух платежей называется периодическими издержками долга.

ПРИМЕР Иванов занимает 100 млн рб при 6% эффективных. Иванов будет выплачивать проценты в конце каждого года и создаст погасительный фонд для возмещения основной суммы. Какие необходимы годовые платежи, если фонд накапливает проценты 4% эффективно ? Какими являются годовые издержки фонда ? Какую сумму будет содержать погасительный фонд в конце шестого года ?

РЕШЕНИЕ Так как погасительный фонд через десять лет должен образовать итоговую сумму 100 млн рб при 4% годовых

100 = R s				и	R = 100 /s			4 % = 8,3291 млн рб.
	1 0		4 %			1 0

Проценты за долг в конце каждого года будут равны 6% от 100 млн рб, то есть 6 млн рб. Полные годовые издержки долга, следовательно, равны

E = 8,3291 + 6 = 14,3291 млн рб.

В конце 6-гогода фонд будет содержать сумму обыкновенного аннуитета шести платежей, накапливаемых при 4% годовых.

S = 8,3291s6 4 % = 55,2467 млн рб.

Метод постоянных процентов в финансовой математике

Другим методом определения стоимостей ежегодных обесцениваний так, чтобы они были больше в первые годы, является метод постоянных процентов. При таком плане каждое годовое обесценивание является фиксированным процентом предшествующей книжной цены. Когда используется этот метод, обычно устанавливается норма обесценивания, а не оценивается продолжительность использования и стоимость остатков. Норма обычно определяется после тщательного анализа рассматриваемого оборудования.

ПРИМЕР 1 Машины определенного типа теряют 10% своей стоимости ежегодно. Машина стоит первоначально 20 млн рб. Составить расписание, показывающее ежегодное обесценивание полное обесценивание и книжную цену в конце каждого года за 5 лет.

РЕШЕНИЕ Стоимость обесценивания для первого года равна 10% от 20 млн рб, то есть 2 млн рб. Книжная цена в конце первого года будет равна 20 - 2 = 18 млн рб. Для второго года стоимость обесценивания будет равна 10% от 18 млн рб, то есть 1,8 млн рб и книжная цена будет 18 - 1,8 = 16,2 млн рб. Продолжая таким образом, мы найдем стоимость обесценивания и книжную цену для каждого года. Полное обесценивание для произвольного времени равно сумме стоимостей обесценивания за предшествующие годы или разности между первоначальной стоимостью и книжной ценой. Расписание в окончательном виде следующее:

------------------------------------------------------------------
Год	Годовое	Полное	Книжная
	обесценивание	обесценивание	цена
------------------------------------------------------------------
1	2	2	18
2	1,8000	3,8000	16,2000
3	1,6200	5,4200	14,5800
4	1,4580	6,8780	13,1220
5	1,3122	8,1902	11,8098


Следует заметить, что так как машина теряет					10% своей стоимости
каждый	год,	90%	стоимости остается. Следовательно, каждая
книжная	цена	равна	90% от предшествующей книжной цены. Этот
факт делает		возможным составить расписание			путем вычисления	в
первую очередь столбца книжных стоимостей.
Процедуру вычислений примера представим				в	виде формул. Пусть	d
будет постоянной нормой обесценивания и				Bk	- книжной ценой	в

144

конце	k	лет.	Обесценивание	для следующего года тогда равно				dBk .
Если это		обесценивание вычитается из книжной цены				Bk	, получается
новая	книжная цена. Отсюда Bk+1 =Bk - dBk				= Bk (1 -d) . Эта формула
устанавливает			фактически, что	если вещь	теряет	долю	d	своей

стоимости, то доля оставшейся стоимости равна 1-d .Поэтому каждая новая книжная цена равна предшествующей, умноженной на 1 -d , и

книжная цена в конце n лет может быть найдена путем	умножения
первоначальной стоимости C на 1 -d n раз. То есть
Bn = C (1 -d)n .	(1)

Эта формула позволяет находить книжную цену в конце любого количества лет, не прибегая к вычислению книжной цены в промежуточные годы.

ПРИМЕР 2 Найти книжную цену машиныпримера 1 в конце 20 лет.

РЕШЕНИЕ Мы имеемC = 20 млн рб,d = 0,1 , иn = 20 . Подставляя эти значения в формулу, получим

B20 = 20 (1 - 0,1)20 = 20 (0,9)20 .

Эти вычисления удобно выполнить с помощью логарифмирования

log B20 = log 20 + 20 log 0,9 = 0,88852 .

Отсюда B20 = 2,431529 млн рб .

Ранее было установлено, что когда используется метод постоянных процентов, обычно оценивают норму обесценивания и затем вычисляют


последовательно книжные цены и стоимости обесценивания.							Однако эта
процедура	не	является необходимой, поскольку метод					одинаково
хорошо	работает,		если	мы	предпочитаем	оценивать		время
использования		и	стоимость остатков оборудования. В этом					случае

необходимо сначала вычислить норму обесценивания, используя равенство (1), после чего процедура остается той же самой как и до этого. Для определения нормы обычно используют логарифмы.

ПРИМЕР 3 Предполагается, что оборудование стоимостью 150 млн рб будет использоваться 6 лет, после чего его стоимость будет равна 20 млн рб. Если используется метод постоянного процента, найти норму обесценивания.

145


РЕШЕНИЕ	Мы имеем C = 150 млн рб,B6					= 20 млн рб и n = 6.
Подставляя эти значения в уравнение (1), получим
	20 = 150 (1 - d)6	и	(1 - d)6 =		20 / 150 = 2 / 15
Логарифмируя последнее равенство, находим
	1 - d = 0,71475		d = 0,28525		= 28,525 % .
Теперь может быть составлено		расписание точно				таким	же образом, как
в примере	1. Чтобы облегчить вычисления,					можно	использовать
логарифмы	при последовательном вычислении книжных цен. Так как
logB1 = logC +log(1-d)			и	logBk+1 = logBk +log(1-d)

По этим формулам последовательно находятся книжные цены и затем составляется расписание.

Метод суммирования до целого в финансовой математике

Хотя бухгалтера используют линейный метод и метод погасительного фонда, эти методы многими пользователями считаются нереалистичными. Причина в том, что для многих видов физической собственности обесценивание происходит быстрее в первые годы и

142

медленнее в течение последних лет. Поэтому получается, что книжная цена является искаженной, вероятно значительно превышающей рыночную цену активов, особенно в первые годы их использования. Следовательно, первоначальная инвестиция остается нетронутой только на бумаге, а не в том смысле, что рыночная цена активов плюс полное обесценивание равны первоначально инвестированной сумме. Если вышеупомянутые рассуждения принять законными, из них следует, что более реалистичный метод анализа обесценивания должен предполагать, что активы быстрее обесцениваются в первые годы и медленнее в последние. Аргументом в пользу этих рассуждений является тот факт, что в большинстве стран такое расписание используется в установлении стоимости автомобилей при налогообложении. Одним из таких подходов является метод суммирования до целого. Применение этого метода иллюстрируется примером.

ПРИМЕР	Составить расписание для машины примера параграфа 9.2,
используя метод суммирования до целого.
РЕШЕНИЕ	Пусть s будет суммой целых чисел от 1 доn , гдеn будет

продолжительностью использования машины. В нашем случае n = 5 иs = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 . Далее образуем дроби 5/15, 4/15, 3/15, 2/15 и 1/15 . Заметим, что числители являются целыми числами 1, 2, 3, 4, и 5 в обратном порядке. Теперь для получения стоимости ежегодного обесценивания умножим полное обесценивание 30 млн рб на эти дроби. Таким образом, 30 ? (5/15) = 10 млн рб равно обесцениванию для первого года: 30 ? (4/15) = 8 млн рб равно обесцениванию на втором году и т.д. Расписание обесценивания теперь выглядит так :

---------------------------------------------------------------------

Год	Ежегодное	Полное	Книжная
	обесценивание	обесценивание	цена

---------------------------------------------------------------------

1	10	10	23
2	8	18	15
3	6	24	9
4	4	28	5
5	2	30	3

Легко показать, что дроби, образованные описанным в примере способом, всегда дают в сумме 1, независимо от величины n ; следовательно, сумма стоимостей ежегодных обесцениваний всегда равна полному обесцениванию.

143

Модели валютных операций в финансовой математике

91 – 95. Вкладчик имеет 60000 рублей. Он может:

а) разместить их во вклад на 1 год под 10% годовых;

б) приобрести доллары по 30 рублей за доллар и разместить их во вклад под 8% годовых.

Какой вариант более выгодный, если через год вкладчик сможет продать доллары по 31 рублю за доллар? При какой цене продажи долларов оба варианта дадут одинаковый результат?

96 – 100. Вкладчик имеет 30000 рублей. Он может:

а) разместить их во вклад на 1 год под 10% годовых с ежеквартальным начислением процентов;

б) приобрести доллары по 30 рублей за доллар и разместить их во вклад под 8% годовых с ежеквартальным начислением процентов.

Модели операций с ценными бумагами - облигации купонные и бескупонные

Инвестор приобрел облигации номиналом 1000 руб. по цене 100% от номинала и продал ее через 60 дней с ажио 5%, не получив процентых выплат. Продолжительность года составляет в расчетах 360 дней. Определить среднегодовую доходность этой операции.
Облигации номиналом 100 тыс. руб. и сроком обращения 180 дней были куплены в момент их выпуска по курсу 66,5 и проданы через 30 дней по курсу 88. Определить доходность купленных облигаций к погашению и текущую доходность к аукциону в результате продажи, для расчетного количества дней в году 360.
Пять облигаций номиналом 10 тыс. руб. и сроком погашения 10 лет куплены по курсу 94. Проценты по облигациям выплачиваются в конце срока по сложной ставке 25% годовых. Определить общий доход и доходность по эффективной ставке всей финансовой операции.
Первые облигации со сроком погашения один год размещаются с дисконтом 40%. Вторые облигации со сроком погашения три года и купонной ставкой 50% размещаются по номиналу. Третьи облигации со сроком погашения один год при купонной ставке 40% имеют рыночную цену 90% от номинала. Покупка какой облигации обеспечит держателю большую доходность за первый год?
Облигации номиналом 1000 руб. с 5% купонной ставкой и погашением через 5 лет приобретена на рынке с дисконтом 10%. Определить текущую доходность.
Облигации, выпущенные банком с купонной ставкой 8,5%, продаются на первичном рынке по номиналу. Двумя годами раньше банк уже выпускал облигации, но с купонной ставкой 8%. Определить, будет ли ее текущая рыночная цена выше или ниже номинала.
Облигация куплена по курсу 85 и будет погашена через 10 лет после покупки. Ежегодные купонные платежи выплачиваются в конце года по ставке 5% годовых от номинальной стоимости облигации. Определить доходность приобретения этой облигации.
Облигация куплена по курсу 80 и будет погашена через 5 лет после покупки. Ежегодные проценты (купонные платежи) выплачиваются в конце года по ставке 7% годовых. Определить доходность этой покупки по эффективной ставке процентов.
Облигация номиналом 10 000 руб. с 50% годового дохода, с дисконтом при эмиссии 15% выпущена на срок 3 года. Во сколько раз конечная доходность этой облигации больше ее текущей доходности?
Облигация продается по цене 75% от номинала. Срок погашения - 5 лет, купонная ставка - 30% годовых. Определить доходность до погашения.

Акции

81. Банк объявил, что дивиденды по его акциям за год составили 200% годовых по обыкновенным акциям и 300% - по привилегированным акциям. Определить сумму дивиденда на одну привилегированную акцию номиналом 5 тыс. руб. и одну обыкновенную акцию номиналом 1 тыс. руб.

82. Курс акций на 11 июля составил: покупка 7300 руб., продажа 8000 руб., а на 28 сентября соответственно покупка 11750 руб., продажа 14750 руб. Определить доход, полученный от покупки 100 акций 11 июля и их последующей продажи 28 сентября, а также доходность операции купли-продажи в виде эффективной ставки простых процентов.

83. При выпуске акций номиналом в 1000 руб. объявленная величина дивидендов равна 125% годовых и будет ежегодно возрастать на 10% по отношению к номиналу. Определить ожидаемый доход от покупки по номиналу и последующей продажи через 5 лет 10 таких акций, а также доходность операции в виде эффективной ставки сложных процентов.

84. Привилегированные акции номиналом 10 тыс. руб. были куплены в количестве 10 шт. по цене 12 тыс. руб. и через 2 года - по цене 25 тыс. руб. за шт. Дивиденд по акциям за первый год составил 40% годовых, за второй - 60% годовых. Определить доход, полученный по акциям, и доходность их купли-продажи в виде эффективной ставки простых и сложных процентов.

85. Курсовая стоимость 23 февраля 1994 года акций банка номиналом 1000 руб. составила 4,3 тыс. руб., а сумма дивиденда на акцию за третий квартал 1993 года – 500 руб. Определить ценность акции и коэффициент ее котировки.

86. Акции номиналом 1000 руб. были куплены по цене 2,5 тыс. руб. за полгода для выплаты дивидендов. Дивиденд по акциям за год был объявлен в размере 200% годовых. После объявления о выплате дивиденда курс акции составил 2,8 тыс. руб. Определить текущую доходность в виде эффективной ставки процентов.

87. Фирма имеет пакет из 80 облигаций номиналом 1000 руб., купоном 8%, дисконтом 15% и 35 облигаций номиналом 500 руб., купоном 10%, ажио 5% и решило инвестировать полученную годовую прибыль в акции курсовой стоимостью 100 руб. Какое количество акций можно приобрести на полученный доход?

88.Акция номинальной стоимостью 500 руб. приобретена по курсу 2500 руб. Дивиденд по акции составляет 200 руб. Определить конечную годовую доходность.

90. Номинальная цена акции составляет 100 руб. Ставка банковского процента составляет 8%. Определить курс акции.

Метод погасительного фонда погашения долга в финансовой математике

Метод постоянных процентов в финансовой математике

Метод суммирования до целого в финансовой математике

Модели валютных операций в финансовой математике

Модели операций с ценными бумагами - облигации купонные и бескупонные

Список литературы и источников на тему "Методы финансовой математики и оценка стоимости"

Другие похожие работы

Методы финансовой математики и оценка стоимости

Метод погасительного фонда в финансовой математике